Номер 23.7, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.7, страница 77.

23.7 Преобразуйте произведение в сумму:

a) $\sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ$

б) $4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ$

а) Для преобразования произведения $ \sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ $ в сумму будем использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Целесообразно начать с произведения косинусов.

Формула произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.

Применим ее к $ \cos 8^\circ \cos 6^\circ $:

$ \cos 8^\circ \cos 6^\circ = \frac{1}{2}(\cos(8^\circ + 6^\circ) + \cos(8^\circ - 6^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 14^\circ + \cos 2^\circ) $.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$ \sin 10^\circ \cdot \frac{1}{2}(\cos 14^\circ + \cos 2^\circ) = \frac{1}{2}(\sin 10^\circ \cos 14^\circ + \sin 10^\circ \cos 2^\circ) $.

Далее используем формулу произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Преобразуем каждое слагаемое в скобках:

$ \sin 10^\circ \cos 14^\circ = \frac{1}{2}(\sin(10^\circ + 14^\circ) + \sin(10^\circ - 14^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 24^\circ + \sin(-4^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 24^\circ - \sin 4^\circ) $.

$ \sin 10^\circ \cos 2^\circ = \frac{1}{2}(\sin(10^\circ + 2^\circ) + \sin(10^\circ - 2^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 12^\circ + \sin 8^\circ) $.

Подставляем обратно и получаем окончательный результат:

$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\sin 24^\circ - \sin 4^\circ) + \frac{1}{2}(\sin 12^\circ + \sin 8^\circ) \right) = \frac{1}{4}(\sin 24^\circ - \sin 4^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ) $.

Расположим слагаемые в порядке убывания аргументов для удобства:

$ \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ - \sin 4^\circ) $.

б) Для преобразования произведения $ 4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ $ в сумму, сгруппируем множители и применим формулы преобразования произведения в сумму. Удобно представить $4$ как $2 \cdot 2$.

$ 4 \sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ = 2 \sin 25^\circ \cdot (2 \cos 15^\circ \sin 5^\circ) $.

Используем формулу $ 2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) $:

$ 2 \cos 15^\circ \sin 5^\circ = \sin(15^\circ + 5^\circ) - \sin(15^\circ - 5^\circ) = \sin 20^\circ - \sin 10^\circ $.

Подставим это в исходное выражение:

$ 2 \sin 25^\circ (\sin 20^\circ - \sin 10^\circ) = 2 \sin 25^\circ \sin 20^\circ - 2 \sin 25^\circ \sin 10^\circ $.

Теперь применим формулу $ 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) $ к каждому слагаемому:

$ 2 \sin 25^\circ \sin 20^\circ = \cos(25^\circ - 20^\circ) - \cos(25^\circ + 20^\circ) = \cos 5^\circ - \cos 45^\circ $.

$ 2 \sin 25^\circ \sin 10^\circ = \cos(25^\circ - 10^\circ) - \cos(25^\circ + 10^\circ) = \cos 15^\circ - \cos 35^\circ $.

Теперь вычтем второе из первого:

$ (\cos 5^\circ - \cos 45^\circ) - (\cos 15^\circ - \cos 35^\circ) = \cos 5^\circ - \cos 45^\circ - \cos 15^\circ + \cos 35^\circ $.

Группируя слагаемые и зная, что $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \cos 35^\circ + \cos 5^\circ - \cos 15^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \cos 35^\circ + \cos 5^\circ - \cos 15^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2} $.