Номер 23.3, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.3, страница 77.

23.3 a) $\cos \alpha \sin (\alpha + \beta);$

б) $\sin (60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ - \alpha);$

в) $\sin \beta \cos (\alpha + \beta);$

г) $\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right).$

а)

Для преобразования произведения $\cos\alpha \sin(\alpha + \beta)$ в сумму воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$.

В нашем случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha$.

$\cos\alpha \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\sin((\alpha + \beta) + \alpha) + \sin((\alpha + \beta) - \alpha))$

$\cos\alpha \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta)$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta)$.

б)

Для преобразования произведения $\sin(60^\circ + \alpha) \sin(60^\circ - \alpha)$ в сумму воспользуемся формулой произведения синусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$.

Здесь $x = 60^\circ + \alpha$ и $y = 60^\circ - \alpha$.

$\sin(60^\circ + \alpha) \sin(60^\circ - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos((60^\circ + \alpha) - (60^\circ - \alpha)) - \cos((60^\circ + \alpha) + (60^\circ - \alpha)))$

$\sin(60^\circ + \alpha) \sin(60^\circ - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(120^\circ))$

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим это значение в выражение:

$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\alpha)$.

в)

Для преобразования произведения $\sin\beta \cos(\alpha + \beta)$ в сумму воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$.

В данном случае $x = \beta$ и $y = \alpha + \beta$.

$\sin\beta \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\sin(\beta + (\alpha + \beta)) + \sin(\beta - (\alpha + \beta)))$

$\sin\beta \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) + \sin(-\alpha))$

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получаем:

$\frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha)$.

г)

Для преобразования произведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$ в сумму используем формулу произведения косинусов: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y))$.

Здесь $x = \alpha + \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{4}$.

$\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\alpha - \frac{\pi}{4})) + \cos((\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\alpha - \frac{\pi}{4})))$

$\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(2\alpha))$

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, подставим это значение:

$\frac{1}{2}(0 + \cos(2\alpha)) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}\cos(2\alpha)$.