Номер 22.41, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.41, страница 76.

22.41 a) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)$;

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом введения вспомогательного угла для выражения в скобках. Преобразуем сумму $\sin x + \sqrt{3} \cos x$.

Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)$.

Так как $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$, то выражение в скобках можно свернуть по формуле косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

$2(\sin(\frac{\pi}{6})\sin x + \cos(\frac{\pi}{6})\cos x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Так как косинус — чётная функция, то $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$. Таким образом, $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\cos(\frac{\pi}{6} - x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2\cos(\frac{\pi}{6} - x))^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

$4\cos^2(\frac{\pi}{6} - x) - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Перенесём все члены в одну сторону и сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$t_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Корень $t_2 = \frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_1 = -1$:

$\cos(\frac{\pi}{6} - x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса должен быть равен $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{6} - x = \pi + 2\pi n$

$-x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$

Поскольку $n$ может быть любым целым числом, можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$, для более удобной записи.

$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos(x + \frac{\pi}{3})$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение в скобках. Вынесем множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$, то выражение можно преобразовать к виду:

$2(\sin(\frac{\pi}{3})\sin x - \cos(\frac{\pi}{3})\cos x) = -2(\cos(\frac{\pi}{3})\cos x - \sin(\frac{\pi}{3})\sin x)$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = -2\cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(-2\cos(x + \frac{\pi}{3}))^2 + 1 = 4\cos(x + \frac{\pi}{3})$

$4\cos^2(x + \frac{\pi}{3}) + 1 = 4\cos(x + \frac{\pi}{3})$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos(x + \frac{\pi}{3})$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - 4t + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(2t - 1)^2 = 0$

$2t - 1 = 0$

$t = \frac{1}{2}$

Корень $t = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.