Номер 22.36, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.36, страница 75.

22.36 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{2} (\sin x + \cos x);$

б) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x;$

в) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x;$

г) $y = \sin x - \cos x.$

Для построения графиков данных функций преобразуем их к виду $y = A \sin(x \pm \phi)$ или $y = A \cos(x \pm \phi)$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Общая формула преобразования выражения $a \sin x + b \cos x$ выглядит так:
$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$.
Далее, в зависимости от значений $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, выражение в скобках сворачивается в синус или косинус суммы/разности.

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$.
Преобразуем выражение в скобках: $\sin x + \cos x$. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=1$.
Находим множитель $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Подставляем это выражение обратно в исходную функцию:
$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в 2 раза (амплитуда становится равной 2).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$ влево.
Ответ: $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$.
Здесь коэффициенты $a=\sqrt{3}$, $b=1$.
Находим амплитуду $A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Выносим 2 за скобки: $y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то, используя формулу синуса суммы, получаем:
$y = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в 2 раза (амплитуда становится равной 2).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ влево.
Ответ: $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$.
Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-\sqrt{3}$.
Находим амплитуду $A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Выносим 2 за скобки: $y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то, используя формулу синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$y = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в 2 раза (амплитуда становится равной 2).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$ вправо.
Ответ: $y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sin x - \cos x$.
Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-1$.
Находим амплитуду $A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Выносим $\sqrt{2}$ за скобки: $y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то, используя формулу синуса разности, получаем:
$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в $\sqrt{2}$ раз (амплитуда становится равной $\sqrt{2}$).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$ вправо.
Ответ: $y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.