Номер 22.29, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.29, страница 75.

22.29 Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу (0; 2,5):

a) $\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x;$

б) $\sin 2x + 5\sin 4x + \sin 6x = 0.$

а) Исходное уравнение: $\cos(6x) + \cos(8x) = \cos(10x) + \cos(12x)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к обеим частям уравнения.

Левая часть: $\cos(6x) + \cos(8x) = 2\cos\frac{6x+8x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2} = 2\cos(7x)\cos(x)$.

Правая часть: $\cos(10x) + \cos(12x) = 2\cos\frac{10x+12x}{2}\cos\frac{12x-10x}{2} = 2\cos(11x)\cos(x)$.

Уравнение принимает вид: $2\cos(7x)\cos(x) = 2\cos(11x)\cos(x)$.

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель:

$2\cos(7x)\cos(x) - 2\cos(11x)\cos(x) = 0$

$2\cos(x)(\cos(7x) - \cos(11x)) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\cos(x) = 0$

2) $\cos(7x) - \cos(11x) = 0$, или $\cos(7x) = \cos(11x)$.

Решим каждое уравнение.

1) Из $\cos(x) = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Уравнение $\cos(7x) = \cos(11x)$ равносильно совокупности:

$7x = \pm 11x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

$7x = 11x + 2\pi k \implies -4x = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi k}{2}$. Поскольку $k$ - любое целое число, это эквивалентно $x = \frac{\pi k}{2}$.

$7x = -11x + 2\pi k \implies 18x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{9}$.

Заметим, что первая серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются формулами: $x = \frac{\pi k}{2}$ и $x = \frac{\pi m}{9}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $(0; 2,5)$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{2}$:

$0 < \frac{\pi k}{2} < 2,5 \implies 0 < \pi k < 5 \implies 0 < k < \frac{5}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14159$, то $0 < k < \frac{5}{3,14159} \approx 1,59$. Единственное целое значение $k$ в этом интервале – это $k=1$.

Отсюда получаем корень $x = \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = \frac{\pi m}{9}$:

$0 < \frac{\pi m}{9} < 2,5 \implies 0 < \pi m < 22,5 \implies 0 < m < \frac{22,5}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14159$, то $0 < m < \frac{22,5}{3,14159} \approx 7,16$. Целые значения $m$ в этом интервале: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Отсюда получаем корни: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{3\pi}{9}=\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{6\pi}{9}=\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

Всего в заданном интервале 8 корней. Упорядочив их по возрастанию, получаем: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

б) Исходное уравнение: $\sin(2x) + 5\sin(4x) + \sin(6x) = 0$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin(2x) + \sin(6x)) + 5\sin(4x) = 0$

$2\sin\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + 5\sin(4x) = 0$

$2\sin(4x)\cos(2x) + 5\sin(4x) = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin(4x)$ за скобки:

$\sin(4x)(2\cos(2x) + 5) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $\sin(4x) = 0$

2) $2\cos(2x) + 5 = 0$.

Решим каждое уравнение.

1) Из $\sin(4x) = 0$ получаем $4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x = \frac{\pi k}{4}$.

2) Из $2\cos(2x) + 5 = 0$ получаем $\cos(2x) = -2,5$.

Так как область значений функции косинус $[-1; 1]$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, все решения исходного уравнения задаются серией $x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $(0; 2,5)$.

$0 < \frac{\pi k}{4} < 2,5 \implies 0 < \pi k < 10 \implies 0 < k < \frac{10}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14159$, то $0 < k < \frac{10}{3,14159} \approx 3,18$. Целые значения $k$ в этом интервале: $1, 2, 3$.

При $k=1$, получаем корень $x = \frac{\pi}{4}$.

При $k=2$, получаем корень $x = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

При $k=3$, получаем корень $x = \frac{3\pi}{4}$.

Все три найденных корня принадлежат заданному интервалу.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}$.