Номер 22.30, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.30, страница 75.

22.30 а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $\sin x + \sqrt{3} \cos x;$

В) $\sin x - \cos x;$

Г) $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x.$

а) Для преобразования выражения вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Общая формула преобразования: $a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos \alpha = \frac{a}{R}$, $\sin \alpha = \frac{b}{R}$.
В выражении $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ имеем $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Вынесем 2 за скобки:$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.
Теперь нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\cos \alpha$ будет равен коэффициенту при $\sin x$, а $\sin \alpha$ — коэффициенту при $\cos x$ (если бы мы преобразовывали к $R\cos(x-\alpha)$, то было бы наоборот). Чтобы получить формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, нам нужно, чтобы коэффициент при $\sin x$ был косинусом, а при $\cos x$ — синусом. Поменяем их местами для наглядности:$2 \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в выражение:$2 (\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6})$.
Сворачиваем по формуле синуса суммы:$2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

б) Преобразуем выражение $\sin x + \sqrt{3} \cos x$.
Здесь $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Вынесем 2 за скобки:$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в выражение:$2 (\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3})$.
По формуле синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$ получаем:$2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

в) Преобразуем выражение $\sin x - \cos x$.
Здесь $a = 1$ и $b = -1$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в выражение:$\sqrt{2} (\sin x \cos(-\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
По формуле синуса суммы получаем:$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

г) Преобразуем выражение $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x$.
Сначала упростим коэффициент $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Выражение принимает вид: $2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x$.
Здесь $a = 2$ и $b = -2\sqrt{3}$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
Вынесем 4 за скобки:$2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x = 4 \left( \frac{2}{4} \sin x - \frac{2\sqrt{3}}{4} \cos x \right) = 4 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в выражение:$4 (\sin x \cos(-\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(-\frac{\pi}{3}))$.
По формуле синуса суммы получаем:$4 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $4 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.