Номер 22.35, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.35, страница 75.

22.35 Существуют ли значения $x$, при которых выполняется равенство:

a) $sin 5x + cos 5x = 1,5;$

б) $3 sin 2x - 4 cos 2x = \sqrt{26};$

в) $sin 7x - \sqrt{3} cos 7x = \frac{\pi}{2};$

г) $5 sin x + 12 cos x = \sqrt{170}?$

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойством тригонометрического выражения вида $a \sin(kx) + b \cos(kx)$. Область значений такого выражения представляет собой отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Уравнение $a \sin(kx) + b \cos(kx) = C$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение $C$ принадлежит этому отрезку, то есть выполняется неравенство $|C| \le \sqrt{a^2+b^2}$.

а) Рассмотрим равенство $\sin 5x + \cos 5x = 1,5$.

В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Найдем максимальное значение, которое может принимать левая часть уравнения:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, область значений выражения $\sin 5x + \cos 5x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли число $1,5$ этому отрезку. Сравним $1,5$ и $\sqrt{2}$. Для этого возведем оба числа в квадрат:

$(1,5)^2 = 2,25$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $2,25 > 2$, то $1,5 > \sqrt{2}$. Это означает, что значение $1,5$ находится вне области значений левой части уравнения.

Ответ: не существуют.

б) Рассмотрим равенство $3 \sin 2x - 4 \cos 2x = \sqrt{26}$.

Здесь коэффициенты $a=3$ и $b=-4$. Найдем область значений левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Область значений выражения $3 \sin 2x - 4 \cos 2x$ — это отрезок $[-5, 5]$.

Сравним значение из правой части, $\sqrt{26}$, с числом $5$. Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{26})^2 = 26$

$5^2 = 25$

Так как $26 > 25$, то $\sqrt{26} > 5$. Значение $\sqrt{26}$ не принадлежит отрезку $[-5, 5]$.

Ответ: не существуют.

в) Рассмотрим равенство $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$.

В этом уравнении коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Найдем область значений левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, область значений выражения $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Теперь проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{2}$ этому отрезку. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159...$

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$.

Поскольку $-2 \le 1,57 \le 2$, значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-2, 2]$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Ответ: существуют.

г) Рассмотрим равенство $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$.

Здесь коэффициенты $a=5$ и $b=12$. Найдем область значений левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Область значений выражения $5 \sin x + 12 \cos x$ — это отрезок $[-13, 13]$.

Сравним значение из правой части, $\sqrt{170}$, с числом $13$. Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{170})^2 = 170$

$13^2 = 169$

Так как $170 > 169$, то $\sqrt{170} > 13$. Значение $\sqrt{170}$ не принадлежит отрезку $[-13, 13]$.

Ответ: не существуют.