Номер 22.38, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.38, страница 76.

22.38 a) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$

Б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5;$

В) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0;$

Г) $5 \cos \frac{x}{2} - 12 \sin \frac{x}{2} = 6,5.$

Все представленные уравнения имеют вид $a \sin(kx) + b \cos(kx) = c$. Для их решения используется метод введения вспомогательного угла, который позволяет преобразовать выражение $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ к виду $R \sin(\alpha \pm \phi)$ или $R \cos(\alpha \pm \phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

а)

Дано уравнение $4 \sin x - 3 \cos x = 5$.

Здесь $a=4$, $b=-3$. Вычислим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$

Преобразуем левую часть к виду $R \cos(x-\phi)$. Общая формула: $a \sin x + b \cos x = R(\frac{a}{R}\sin x + \frac{b}{R}\cos x)$. Чтобы получить формулу косинуса разности $\cos(x-\phi) = \cos x \cos \phi + \sin x \sin \phi$, нам нужно положить $\sin \phi = \frac{a}{R}$ и $\cos \phi = \frac{b}{R}$.

В нашем случае $\sin \phi = \frac{4}{5}$ и $\cos \phi = -\frac{3}{5}$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\sin \phi \sin x + \cos \phi \cos x = 1$

$\cos(x-\phi) = 1$

Решением этого уравнения является:

$x - \phi = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \phi + 2\pi n$.

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\sin \phi = 4/5$ и $\cos \phi = -3/5$. Это означает, что угол $\phi$ находится во второй четверти. Его можно выразить через арккосинус: $\phi = \arccos(-\frac{3}{5})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5$.

Здесь $a=3$, $b=4$. Вычислим $R = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = \frac{2,5}{5}$

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = 0,5$

Преобразуем левую часть к виду $R \sin(2x+\phi)$. Формула: $\sin(2x+\phi) = \sin 2x \cos \phi + \cos 2x \sin \phi$. Положим $\cos \phi = \frac{3}{5}$ и $\sin \phi = \frac{4}{5}$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(2x + \phi) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$2x + \phi = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\phi + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\phi}{2} + (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\cos \phi = 3/5$ и $\sin \phi = 4/5$. Угол $\phi$ находится в первой четверти, и его можно выразить как $\phi = \arccos(\frac{3}{5})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = -\frac{1}{2}\arccos(\frac{3}{5}) + (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}\arccos(\frac{3}{5}) + (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0$, что эквивалентно $12 \sin x + 5 \cos x = -13$.

Здесь $a=12$, $b=5$. Вычислим $R = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$.

Разделим обе части уравнения на $R=13$:

$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$

Значение выражения $a \sin x + b \cos x$ лежит в диапазоне $[-R, R]$, то есть в данном случае $[-13, 13]$. Правая часть уравнения, $-13$, является минимально возможным значением. Это означает, что решение существует.

Преобразуем левую часть к виду $R \cos(x-\phi)$. Для этого положим $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$.

Уравнение принимает вид:

$\sin \phi \sin x + \cos \phi \cos x = -1$

$\cos(x - \phi) = -1$

Решением этого уравнения является:

$x - \phi = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \phi + \pi + 2\pi n$.

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\cos \phi = 5/13$ и $\sin \phi = 12/13$. Угол $\phi$ находится в первой четверти, и его можно выразить как $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = \pi + \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $5 \cos \frac{x}{2} - 12 \sin \frac{x}{2} = 6,5$.

Перепишем его в стандартном виде: $-12 \sin \frac{x}{2} + 5 \cos \frac{x}{2} = 6,5$.

Здесь $a=-12$, $b=5$. Вычислим $R = \sqrt{(-12)^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$.

Разделим обе части уравнения на $R=13$:

$-\frac{12}{13} \sin \frac{x}{2} + \frac{5}{13} \cos \frac{x}{2} = \frac{6,5}{13}$

$-\frac{12}{13} \sin \frac{x}{2} + \frac{5}{13} \cos \frac{x}{2} = 0,5$

Преобразуем левую часть к виду $R \cos(\frac{x}{2}+\phi)$. Формула: $\cos(\frac{x}{2}+\phi) = \cos \frac{x}{2} \cos \phi - \sin \frac{x}{2} \sin \phi$. Положим $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$.

Уравнение принимает вид:

$\cos \phi \cos \frac{x}{2} - \sin \phi \sin \frac{x}{2} = 0,5$

$\cos(\frac{x}{2} + \phi) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$\frac{x}{2} + \phi = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\phi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -2\phi \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\cos \phi = 5/13$ и $\sin \phi = 12/13$. Угол $\phi$ находится в первой четверти, и его можно выразить как $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = -2\arccos(\frac{5}{13}) \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -2\arccos(\frac{5}{13}) \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.