Номер 22.40, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.40, страница 76.

Решите уравнение:

22.40 a) $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0;$

б) $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0.$

а) Решим уравнение $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$.

Сначала преобразуем сумму $\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x + \frac{1}{2} \sin 5x \right)$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Однако, для использования формулы синуса суммы, удобнее представить коэффициенты как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$2 \left( \sin(\frac{\pi}{3}) \cos 5x + \cos(\frac{\pi}{3}) \sin 5x \right) = 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 \sin 17x + 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin 17x + \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$\sin 17x = - \sin(5x + \frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности функции синус, $-\sin\alpha = \sin(-\alpha)$, получаем:

$\sin 17x = \sin(-5x - \frac{\pi}{3})$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

1) $A = B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$17x = -5x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$22x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $A = \pi - B + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$17x = \pi - (-5x - \frac{\pi}{3}) + 2\pi m$

$17x = \pi + 5x + \frac{\pi}{3} + 2\pi m$

$12x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$

$x = \frac{4\pi}{3 \cdot 12} + \frac{2\pi m}{12}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{6}, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{6}, \quad k, m \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$.

Преобразуем выражение $5 \sin x - 12 \cos x$ методом введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

$5 \sin x - 12 \cos x = 13 \left( \frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x \right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$ или $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$.

Тогда выражение в скобках принимает вид $\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha$, что является формулой синуса разности $\sin(x-\alpha)$.

$13 (\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha) = 13 \sin(x - \alpha)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$13 \sin(x - \alpha) + 13 \sin 3x = 0$.

Разделим обе части на 13:

$\sin 3x + \sin(x - \alpha) = 0$.

$\sin 3x = - \sin(x - \alpha)$.

Используя свойство $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, получаем:

$\sin 3x = \sin(-(x - \alpha)) = \sin(\alpha - x)$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

1) $A = B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3x = \alpha - x + 2\pi k$

$4x = \alpha + 2\pi k$

$x = \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $A = \pi - B + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$3x = \pi - (\alpha - x) + 2\pi m$

$3x = \pi - \alpha + x + 2\pi m$

$2x = \pi - \alpha + 2\pi m$

$x = \frac{\pi - \alpha}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Запишем ответ, используя $\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\arccos(\frac{5}{13}) + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arccos(\frac{5}{13}) + \pi m, \quad k, m \in \mathbb{Z}$.