Номер 23.2, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.2, страница 77.

23.2 a) $\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta)$;

б) $\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)$;

В) $\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\right)$;

Г) $2\sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)$.

а) Чтобы преобразовать данное выражение, воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $
Перемножим эти два выражения. Заметим, что это произведение имеет вид $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, где $ a = \sin\alpha\cos\beta $ и $ b = \cos\alpha\sin\beta $.
$ \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta)^2 - (\cos\alpha\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $ для преобразования выражения:
$ \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta $
$ = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $
Это выражение также можно представить в виде $ \cos^2\beta - \cos^2\alpha $.
Другой способ решения — использование формулы преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ \sin(x)\sin(y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $. При $ x = \alpha + \beta $ и $ y = \alpha - \beta $ получим $ \frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha)) $, что эквивалентно $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $.
Ответ: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $.

б) Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $
Их произведение — это разность квадратов:
$ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta)^2 - (\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta $
Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество. Например, заменим $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $:
$ \cos^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - \sin^2\alpha\sin^2\beta = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta $
Вынесем $ -\sin^2\beta $ за скобки:
$ = \cos^2\alpha - \sin^2\beta(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $
Так как $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, получаем:
$ = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $
Альтернативно, можно было получить $ \cos^2\beta - \sin^2\alpha $ или $ \cos^2\alpha + \cos^2\beta - 1 $.
Ответ: $ \cos^2\alpha - \sin^2\beta $.

в) Для преобразования произведения косинусов в сумму используем формулу:
$ \cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $
В данном случае $ x = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} $ и $ y = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} $.
Найдём сумму и разность аргументов:
$ x - y = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) - (\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta $
$ x + y = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) + (\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \alpha $
Подставим найденные значения в формулу:
$ \cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\right) = \frac{1}{2}(\cos\beta + \cos\alpha) $
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos\beta) $.

г) Для преобразования произведения синуса на косинус используем формулу:
$ \sin(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $
Умножив обе части на 2, получим: $ 2\sin(x)\cos(y) = \sin(x+y) + \sin(x-y) $.
В нашем выражении $ x = \alpha + \beta $ и $ y = \alpha - \beta $.
Найдём сумму и разность этих аргументов:
$ x + y = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 2\alpha $
$ x - y = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = 2\beta $
Подставляем в формулу:
$ 2\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) $
Ответ: $ \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) $.