Номер 23.8, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.8, страница 77.

Вычислите:

23.8 a) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ$;

б) $\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ$.

a) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими формулами понижения степени и преобразования произведения в сумму.

Формула понижения степени для косинуса имеет вид: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим ее к первым двум слагаемым исходного выражения:

$\cos^2 3^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 6^\circ}{2}$

$\cos^2 1^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 2^\circ}{2}$

Формула преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим ее к третьему члену выражения:

$\cos 4^\circ \cos 2^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ - 2^\circ) + \cos(4^\circ + 2^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 2^\circ + \cos 6^\circ)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ = \left(\frac{1 + \cos 6^\circ}{2}\right) + \left(\frac{1 + \cos 2^\circ}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}(\cos 2^\circ + \cos 6^\circ)\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{\cos 6^\circ}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 6^\circ}{2}$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{\cos 6^\circ}{2} - \frac{\cos 6^\circ}{2}) + (\frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 2^\circ}{2}) = 1 + 0 + 0 = 1$

Ответ: $1$.

б) $\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ$

Для решения используем формулу понижения степени для синуса и формулу преобразования произведения косинусов в сумму.

Формула понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим ее к первому слагаемому:

$\sin^2 10^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 10^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2}$

Формула преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим ее ко второму слагаемому (для удобства поменяем множители местами, чтобы получить положительный угол под первым косинусом):

$\cos 50^\circ \cos 70^\circ = \cos 70^\circ \cos 50^\circ = \frac{1}{2}(\cos(70^\circ - 50^\circ) + \cos(70^\circ + 50^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ + \cos 120^\circ)$

Подставим полученные выражения в исходное:

$\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \left(\frac{1 - \cos 20^\circ}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}(\cos 20^\circ + \cos 120^\circ)\right)$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{1}{2} - \frac{\cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos 120^\circ}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\cos 120^\circ}{2}$

Найдем значение $\cos 120^\circ$. Используя формулу приведения, $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ$. Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, то $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в наше выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{-\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Вычислим окончательный результат:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.