Номер 24.2, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.2, страница 79.

24.2 a) $y_n = (-1)^n;$

б) $y_n = \frac{(-2)^n}{n^2 + 1};$

В) $y_n = (-1)^n \frac{1}{10^n};$

Г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}.$

а) $y_n = (-1)^n$

Рассмотрим члены данной последовательности: $y_1 = -1$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$, $y_4 = 1$, и так далее. Последовательность принимает всего два значения: -1 и 1, которые постоянно чередуются.

Такая последовательность не может стремиться к одному определённому числу (пределу). Чтобы доказать это формально, можно рассмотреть две подпоследовательности:
1. Подпоследовательность с четными номерами: $y_{2k} = (-1)^{2k} = 1$. Предел этой подпоследовательности равен 1.
2. Подпоследовательность с нечетными номерами: $y_{2k-1} = (-1)^{2k-1} = -1$. Предел этой подпоследовательности равен -1.

Поскольку мы нашли две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам, исходная последовательность не имеет предела, то есть расходится.

Ответ: последовательность расходится.

б) $y_n = \frac{(-2)^n}{n^2 + 1}$

Рассмотрим абсолютное значение члена последовательности: $|y_n| = \left| \frac{(-2)^n}{n^2 + 1} \right| = \frac{|(-2)^n|}{|n^2 + 1|} = \frac{2^n}{n^2 + 1}$.

Чтобы определить поведение последовательности, найдём предел её абсолютного значения при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} |y_n| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2 + 1}$.

Показательная функция $2^n$ в числителе растёт быстрее, чем степенная функция $n^2 + 1$ в знаменателе. Поэтому предел этого отношения равен бесконечности. Формально это можно показать, например, с помощью правила Лопиталя (для соответствующей функции действительного переменного $x$): $\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2^x)'}{(x^2+1)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln 2}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2^x \ln 2)'}{(2x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln 2)^2}{2} = \infty$.

Так как $\lim_{n \to \infty} |y_n| = \infty$, это означает, что члены последовательности неограниченно возрастают по модулю. Следовательно, последовательность является неограниченной, а значит, она расходится.

Ответ: последовательность расходится.

в) $y_n = (-1)^n \frac{1}{10^n}$

Эту последовательность можно представить в виде $y_n = \frac{(-1)^n}{10^n} = \left(-\frac{1}{10}\right)^n$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $r = -1/10$.

Геометрическая прогрессия сходится, если её знаменатель $r$ удовлетворяет условию $|r| < 1$. В нашем случае $|-1/10| = 1/10 < 1$, следовательно, последовательность сходится. Предел такой последовательности равен нулю.

Также можно использовать теорему о сжатии (о двух милиционерах). Заметим, что для любого натурального $n$: $-1 \le (-1)^n \le 1$. Умножим все части неравенства на положительное число $\frac{1}{10^n}$: $-\frac{1}{10^n} \le \frac{(-1)^n}{10^n} \le \frac{1}{10^n}$.

Найдём пределы "ограничивающих" последовательностей: $\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{10^n}\right) = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^n} = 0$. Поскольку обе последовательности, ограничивающие $y_n$ снизу и сверху, сходятся к нулю, то по теореме о сжатии и сама последовательность $y_n$ сходится к нулю.

Ответ: последовательность сходится, её предел равен 0.

г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2}$

Для анализа этой последовательности воспользуемся теоремой о сжатии (о двух милиционерах). Оценим числитель дроби. Множитель $(-1)^n$ принимает значения 1 (для четных $n$) и -1 (для нечетных $n$). Таким образом, числитель $(-1)^n + 2$ принимает значения:
- при четном $n$: $1 + 2 = 3$
- при нечетном $n$: $-1 + 2 = 1$
Следовательно, для любого натурального $n$ справедливо неравенство: $1 \le (-1)^n + 2 \le 3$.

Знаменатель $3n - 2$ положителен для всех натуральных $n \ge 1$. Поэтому мы можем разделить все части неравенства на $3n-2$, не меняя знаков неравенства: $\frac{1}{3n - 2} \le \frac{(-1)^n + 2}{3n - 2} \le \frac{3}{3n - 2}$.

Теперь найдём пределы последовательностей, ограничивающих $y_n$ слева и справа: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n - 2} = 0$, так как знаменатель стремится к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{3n - 2} = 0$, так как знаменатель стремится к бесконечности.

Поскольку последовательность $y_n$ заключена между двумя последовательностями, которые обе сходятся к нулю, по теореме о сжатии, последовательность $y_n$ также сходится к нулю.

Ответ: последовательность сходится, её предел равен 0.