Номер 24.8, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.8, страница 80.

24.8 а) 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, ...;

б) $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{11}{12}$, ...;

в) 1, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{27}$, $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{125}$, ...;

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}$, $\frac{1}{5 \cdot 7}$, $\frac{1}{7 \cdot 9}$, $\frac{1}{9 \cdot 11}$, $\frac{1}{11 \cdot 13}$, ....

а)

Данная последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ...$

Запишем члены последовательности, обозначив их через $a_n$, где $n$ – номер члена, начиная с 1:

$a_1 = 1$

$a_2 = \frac{1}{2}$

$a_3 = \frac{1}{4}$

$a_4 = \frac{1}{8}$

Представим знаменатели как степени числа 2, а первый член $1$ как $\frac{1}{1}$:

$a_1 = \frac{1}{1} = \frac{1}{2^0}$

$a_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$

$a_3 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$

$a_4 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$

Видно, что числитель каждого члена равен 1, а знаменатель – это степень двойки, показатель которой на 1 меньше номера члена последовательности ($n-1$).

Следовательно, формула n-го члена последовательности $a_n$ имеет вид:

$a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1=1$ и знаменателем $q=\frac{1}{2}$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ подтверждает найденный результат: $a_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}$.

Ответ: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

б)

Данная последовательность: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, ...$

Рассмотрим отдельно последовательности числителей и знаменателей.

Последовательность числителей: $3, 5, 7, 9, 11, ...$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 3, а разность равна 2. Формула n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + d(n-1)$. Для числителей получаем: $3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Последовательность знаменателей: $4, 6, 8, 10, 12, ...$. Это также арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 4, а разность равна 2. Для знаменателей получаем: $4 + 2(n-1) = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.

Таким образом, формула для n-го члена исходной последовательности $a_n$ является отношением формул для числителя и знаменателя:

$a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

Проверим для первых членов:

При $n=1: a_1 = \frac{2(1)+1}{2(1)+2} = \frac{3}{4}$

При $n=2: a_2 = \frac{2(2)+1}{2(2)+2} = \frac{5}{6}$

При $n=3: a_3 = \frac{2(3)+1}{2(3)+2} = \frac{7}{8}$

Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

в)

Данная последовательность: $1, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, ...$

Запишем члены последовательности и проанализируем их знаменатели:

$a_1 = 1 = \frac{1}{1}$

$a_2 = \frac{1}{8}$

$a_3 = \frac{1}{27}$

$a_4 = \frac{1}{64}$

$a_5 = \frac{1}{125}$

Заметим, что знаменатели являются кубами натуральных чисел:

$1 = 1^3$

$8 = 2^3$

$27 = 3^3$

$64 = 4^3$

$125 = 5^3$

Знаменатель n-го члена последовательности равен $n^3$. Числитель всегда равен 1.

Следовательно, формула n-го члена последовательности $a_n$ имеет вид:

$a_n = \frac{1}{n^3}$

Проверим для $n=1: a_1 = \frac{1}{1^3} = 1$. Верно.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$

г)

Данная последовательность: $\frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \frac{1}{7 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 13}, ...$

Числитель каждого члена последовательности равен 1. Знаменатель является произведением двух чисел.

Рассмотрим первые множители в знаменателях: $3, 5, 7, 9, 11, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 2. Формула n-го члена для этой последовательности: $3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Рассмотрим вторые множители в знаменателях: $5, 7, 9, 11, 13, ...$. Это также арифметическая прогрессия с первым членом 5 и разностью 2. Формула n-го члена для этой последовательности: $5 + 2(n-1) = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$.

Также можно заметить, что второй множитель всегда на 2 больше первого: $(2n+1) + 2 = 2n+3$.

Таким образом, знаменатель n-го члена последовательности равен произведению $(2n+1)(2n+3)$.

Формула для n-го члена исходной последовательности $a_n$ имеет вид:

$a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

Проверим для $n=1: a_1 = \frac{1}{(2(1)+1)(2(1)+3)} = \frac{1}{3 \cdot 5}$. Верно.

Проверим для $n=2: a_2 = \frac{1}{(2(2)+1)(2(2)+3)} = \frac{1}{5 \cdot 7}$. Верно.

Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$