Номер 24.11, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.11, страница 80.

24.11 Последовательность задана формулой

$a_n = (2n - 1)(3n + 2).$

Является ли членом последовательности число:

a) 0;

б) 24;

в) 153;

г) -2?

Для того чтобы определить, является ли данное число членом последовательности, заданной формулой $a_n = (2n - 1)(3n + 2)$, необходимо подставить это число вместо $a_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если одним из корней уравнения является натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то данное число является членом последовательности. В противном случае — не является.

Для удобства раскроем скобки в формуле:

$a_n = 2n \cdot 3n + 2n \cdot 2 - 1 \cdot 3n - 1 \cdot 2 = 6n^2 + 4n - 3n - 2 = 6n^2 + n - 2$

а) 0

Проверим, может ли член последовательности быть равен 0. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

Ни один из корней не является натуральным числом. Следовательно, 0 не является членом данной последовательности.

Ответ: число 0 не является членом последовательности.

б) 24

Проверим число 24. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = 24$

$6n^2 + n - 26 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625 = 25^2$

Найдем корни:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 25}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 25}{12} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$

Корень $n=2$ является натуральным числом. Это значит, что число 24 является вторым членом последовательности ($a_2$).

Ответ: число 24 является членом последовательности.

в) 153

Проверим число 153. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = 153$

$6n^2 + n - 155 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-155) = 1 + 3720 = 3721 = 61^2$

Найдем корни:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{3721}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 61}{12} = \frac{60}{12} = 5$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{3721}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 61}{12} = \frac{-62}{12} = -\frac{31}{6}$

Корень $n=5$ является натуральным числом. Это значит, что число 153 является пятым членом последовательности ($a_5$).

Ответ: число 153 является членом последовательности.

г) -2

Проверим число -2. Составим уравнение:

$6n^2 + n - 2 = -2$

$6n^2 + n = 0$

Вынесем $n$ за скобки:

$n(6n + 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$n_1 = 0$

$6n + 1 = 0 \implies n_2 = -\frac{1}{6}$

Ни один из корней не является натуральным числом. Также можно заметить, что для любого натурального $n$ ($n \geq 1$) множители $(2n-1)$ и $(3n+2)$ положительны, а значит, их произведение $a_n$ всегда будет положительным. Следовательно, отрицательное число не может быть членом данной последовательности.

Ответ: число -2 не является членом последовательности.