Номер 24.16, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.16, страница 81.

24.16 Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности:

а) $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{9}{10}$, ...;

б) $\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{6}{3\sqrt{3}}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{10}{9\sqrt{3}}$, ...;

в) $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{16}$, $\frac{27}{64}$, $\frac{81}{256}$, $\frac{243}{1024}$, ...;

г) $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{2\sqrt{2}}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{9}{4\sqrt{2}}$, ... .

а) Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Последовательность имеет вид: $-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{5}{6}, \frac{7}{8}, -\frac{9}{10}, \dots$

Рассмотрим составные части каждого члена последовательности.

1. Знаки: Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса (-, +, -, +, ...). Такое чередование можно описать с помощью множителя $(-1)^n$, так как при $n=1$ он равен $-1$, при $n=2$ он равен $1$, и так далее.

2. Числители: Последовательность числителей — $1, 3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член равен $1$, а разность равна $2$. Формула $n$-го члена такой прогрессии: $1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1$.

3. Знаменатели: Последовательность знаменателей — $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. Это последовательность четных чисел, или арифметическая прогрессия с первым членом $2$ и разностью $2$. Формула $n$-го члена: $2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

Объединяя все три компонента, получаем формулу для $n$-го члена исходной последовательности.

Ответ: $a_n = (-1)^n \frac{2n-1}{2n}$

б) Обозначим $n$-й член последовательности как $b_n$. Последовательность имеет вид: $\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{4}{3}, \frac{6}{3\sqrt{3}}, \frac{8}{9}, \frac{10}{9\sqrt{3}}, \dots$

1. Числители: Последовательность числителей — $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. Это последовательность четных чисел, формула $n$-го члена которой равна $2n$.

2. Знаменатели: Последовательность знаменателей — $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}, \dots$. Заметим, что это геометрическая прогрессия. Найдем её знаменатель, разделив второй член на первый: $q = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Первый член равен $\sqrt{3}$. Таким образом, $n$-й член знаменателя можно записать по формуле $b_1 \cdot q^{n-1} = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^n$. Эту же последовательность можно представить как степени числа $\sqrt{3}$: $(\sqrt{3})^1, (\sqrt{3})^2, (\sqrt{3})^3, \dots$.

Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем общую формулу.

Ответ: $b_n = \frac{2n}{(\sqrt{3})^n}$

в) Обозначим $n$-й член последовательности как $c_n$. Последовательность: $\frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \frac{243}{1024}, \dots$

Данная последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно. Найдем это отношение (знаменатель прогрессии $q$):

$q = \frac{9/16}{3/4} = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{4}$.

Первый член прогрессии $c_1 = \frac{3}{4}$. По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, получаем:

$c_n = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \left(\frac{3}{4}\right)^n$.

Альтернативно, можно заметить, что числители $3, 9, 27, \dots$ являются степенями числа 3 ($3^n$), а знаменатели $4, 16, 64, \dots$ являются степенями числа 4 ($4^n$). Это также приводит к формуле $c_n = \frac{3^n}{4^n}$.

Ответ: $c_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$

г) Обозначим $n$-й член последовательности как $d_n$. Последовательность: $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4\sqrt{2}}, \dots$

1. Числители: Последовательность числителей — $1, 3, 5, 7, 9, \dots$. Это арифметическая прогрессия нечетных чисел, формула $n$-го члена которой, как и в пункте а), равна $2n-1$.

2. Знаменатели: Последовательность знаменателей — $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, \dots$. Представим эти члены как степени числа $\sqrt{2}$:

При $n=1$: $\sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$

При $n=2$: $2 = (\sqrt{2})^2$

При $n=3$: $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$

При $n=4$: $4 = 2^2 = ((\sqrt{2})^2)^2 = (\sqrt{2})^4$

При $n=5$: $4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^5$

Таким образом, $n$-й член последовательности знаменателей равен $(\sqrt{2})^n$.

Соединив формулы для числителя и знаменателя, получаем итоговую формулу.

Ответ: $d_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}$