Номер 24.22, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.22, страница 82.

24.22 Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?

а) $-3, -2, -1, 0, 1, ...$;

б) $1, -1, 1, -2, 1, -3, ...$;

в) $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, ...$;

г) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$

Чтобы определить, ограничена ли последовательность сверху, нужно выяснить, существует ли такое число $M$, что все члены последовательности меньше или равны этому числу ($a_n \le M$ для всех $n$).

а) Последовательность $-3, -2, -1, 0, 1, ...$ является арифметической прогрессией, общий член которой можно записать как $a_n = n-4$ (при $n \ge 1$). С увеличением номера $n$ значение члена $a_n$ неограниченно возрастает. Для любого, даже самого большого числа $M$, всегда можно найти такой номер $n$ (например, $n > M+4$), что $a_n > M$. Следовательно, эта последовательность не ограничена сверху.
Ответ: не ограничена сверху.

б) В последовательности $1, -1, 1, -2, 1, -3, ...$ члены с нечетными номерами равны 1, а члены с четными номерами — это отрицательные числа $-1, -2, -3, ...$. Любой член этой последовательности либо равен 1, либо меньше 1. Таким образом, для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху числом 1.
Ответ: ограничена сверху.

в) Последовательность $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, ...$ имеет общий член $a_n = \frac{1}{n+1}$ (при $n \ge 1$). Это убывающая последовательность, так как с ростом $n$ знаменатель дроби увеличивается, а сама дробь уменьшается. Наибольшим членом является первый: $a_1 = \frac{1}{2}$. Все остальные члены последовательности меньше $\frac{1}{2}$. Следовательно, для всех членов выполняется неравенство $a_n \le \frac{1}{2}$. Последовательность ограничена сверху.
Ответ: ограничена сверху.

г) Последовательность $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$ имеет общий член $a_n = \frac{n}{n+1}$ (при $n \ge 1$). Его можно представить в виде $a_n = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. Так как при любом натуральном $n$ дробь $\frac{1}{n+1}$ положительна, то значение $a_n$ всегда меньше 1. Таким образом, для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n < 1$. Последовательность ограничена сверху, например, числом 1.
Ответ: ограничена сверху.