Номер 24.20, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.20, страница 82.

24.20 Найдите минимальный отрезок $ [a; b] $ с целочисленными конца-

ми, которому принадлежат все члены последовательности:

a) $ a_n = 7 - \frac{1}{n} $;

б) $ b_n = 2 + \frac{1}{2^n} $;

в) $ p_n = \frac{2n + 1}{2n - 1} $;

г) $ q_n = \frac{2n - 1}{2n + 1} $.

а) Для последовательности $a_n = 7 - \frac{1}{n}$ необходимо найти её точную нижнюю (инфимум) и точную верхнюю (супремум) грани. Исследуем последовательность на монотонность. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n = (7 - \frac{1}{n+1}) - (7 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$. Так как $n \ge 1$, эта разность всегда положительна, следовательно, последовательность $a_n$ является строго возрастающей. Её наименьшее значение (инфимум) равно первому члену: $\inf(a_n) = a_1 = 7 - \frac{1}{1} = 6$. Супремум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\sup(a_n) = \lim_{n \to \infty} (7 - \frac{1}{n}) = 7$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $[6, 7)$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами, который содержит все члены последовательности, определяется как $[ \lfloor\inf(a_n)\rfloor, \lceil\sup(a_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor 6 \rfloor = 6$ и $b = \lceil 7 \rceil = 7$. Ответ: $[6, 7]$.

б) Для последовательности $b_n = 2 + \frac{1}{2^n}$ исследуем ее поведение. С ростом натурального числа $n$, значение $2^n$ увеличивается, следовательно, дробь $\frac{1}{2^n}$ уменьшается. Это означает, что последовательность $b_n$ является строго убывающей. Её наибольшее значение (супремум) равно первому члену: $\sup(b_n) = b_1 = 2 + \frac{1}{2^1} = 2.5$. Инфимум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\inf(b_n) = \lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{2^n}) = 2$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $(2, 2.5]$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами определяется как $[ \lfloor\inf(b_n)\rfloor, \lceil\sup(b_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor 2 \rfloor = 2$ и $b = \lceil 2.5 \rceil = 3$. Ответ: $[2, 3]$.

в) Для последовательности $p_n = \frac{2n+1}{2n-1}$ преобразуем её, выделив целую часть: $p_n = \frac{2n-1+2}{2n-1} = 1 + \frac{2}{2n-1}$. С ростом $n$, знаменатель $2n-1$ увеличивается, значит дробь $\frac{2}{2n-1}$ уменьшается. Следовательно, последовательность $p_n$ является строго убывающей. Её наибольшее значение (супремум) равно первому члену: $\sup(p_n) = p_1 = 1 + \frac{2}{2(1)-1} = 1 + 2 = 3$. Инфимум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\inf(p_n) = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{2n-1}) = 1$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $(1, 3]$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами определяется как $[ \lfloor\inf(p_n)\rfloor, \lceil\sup(p_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor 1 \rfloor = 1$ и $b = \lceil 3 \rceil = 3$. Ответ: $[1, 3]$.

г) Для последовательности $q_n = \frac{2n-1}{2n+1}$ преобразуем её, выделив целую часть: $q_n = \frac{2n+1-2}{2n+1} = 1 - \frac{2}{2n+1}$. С ростом $n$, знаменатель $2n+1$ увеличивается, значит дробь $\frac{2}{2n+1}$ уменьшается. Так как мы вычитаем положительное убывающее число из 1, последовательность $q_n$ является строго возрастающей. Её наименьшее значение (инфимум) равно первому члену: $\inf(q_n) = q_1 = 1 - \frac{2}{2(1)+1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Супремум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\sup(q_n) = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{2n+1}) = 1$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $[\frac{1}{3}, 1)$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами определяется как $[ \lfloor\inf(q_n)\rfloor, \lceil\sup(q_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor \frac{1}{3} \rfloor = 0$ и $b = \lceil 1 \rceil = 1$. Ответ: $[0, 1]$.