Номер 24.18, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.18, страница 81.

24.18 Сколько членов последовательности

а) $ \frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, ...$

б) $ \frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, ...$

в) $ \frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, ...$

г) $ \frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, ...$

не превосходит единицы?

а) Дана последовательность $a_n: \frac{1}{3125}, \frac{1}{625}, \frac{1}{125}, ...$

Заметим, что знаменатели являются степенями числа 5: $3125=5^5, 625=5^4, 125=5^3$. Таким образом, последовательность можно представить в виде: $\frac{1}{5^5}, \frac{1}{5^4}, \frac{1}{5^3}, ...$

Общий член этой последовательности, которая является геометрической прогрессией, можно записать формулой $a_n = \frac{1}{5^{6-n}} = 5^{n-6}$.

Нам нужно найти количество членов последовательности, которые не превосходят единицу, то есть удовлетворяют неравенству $a_n \le 1$.

$5^{n-6} \le 1$

Поскольку $1 = 5^0$, неравенство принимает вид:

$5^{n-6} \le 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^x$ является возрастающей, поэтому можно сравнить показатели степени:

$n - 6 \le 0$

$n \le 6$

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то подходят значения $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Таким образом, 6 членов последовательности не превосходят единицу.

Ответ: 6

б) Дана последовательность $b_n: \frac{6}{377}, \frac{11}{379}, \frac{16}{381}, ...$

Рассмотрим последовательность числителей: $6, 11, 16, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 6$ и разностью $d_c = 5$. Формула n-го члена: $c_n = 6 + (n-1)5 = 5n+1$.

Рассмотрим последовательность знаменателей: $377, 379, 381, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 377$ и разностью $d_z = 2$. Формула n-го члена: $z_n = 377 + (n-1)2 = 2n+375$.

Таким образом, общий член исходной последовательности равен $b_n = \frac{5n+1}{2n+375}$.

Найдем количество членов, удовлетворяющих неравенству $b_n \le 1$.

$\frac{5n+1}{2n+375} \le 1$

Так как $n \ge 1$, знаменатель $2n+375$ всегда положителен. Умножим обе части на знаменатель:

$5n+1 \le 2n+375$

$3n \le 374$

$n \le \frac{374}{3}$

$n \le 124\frac{2}{3}$

Так как $n$ - натуральное число, то $n$ может принимать значения от 1 до 124 включительно.

Всего 124 таких члена.

Ответ: 124

в) Дана последовательность $v_n: \frac{2}{729}, \frac{2}{243}, \frac{2}{81}, ...$

Числитель каждого члена равен 2. Знаменатели $729, 243, 81, ...$ образуют геометрическую прогрессию. Представим знаменатели как степени числа 3: $729=3^6, 243=3^5, 81=3^4$.

Формула n-го члена знаменателя: $z_n = 3^{7-n}$.

Тогда общий член исходной последовательности: $v_n = \frac{2}{3^{7-n}} = 2 \cdot 3^{n-7}$.

Решим неравенство $v_n \le 1$:

$2 \cdot 3^{n-7} \le 1$

$3^{n-7} \le \frac{1}{2}$

Поскольку $3^0=1$, а $3^{-1}=\frac{1}{3}$, и $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$, то показатель степени $n-7$ должен быть отрицательным. Проверим значения $n$:
При $n=6$, $v_6 = 2 \cdot 3^{6-7} = 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{3} \le 1$.
При $n=7$, $v_7 = 2 \cdot 3^{7-7} = 2 \cdot 3^0 = 2 > 1$.
Следовательно, нам подходят все $n \le 6$.

Условию $n \le 6$ удовлетворяют натуральные числа $n=1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Всего 6 таких членов.

Ответ: 6

г) Дана последовательность $g_n: \frac{2}{219}, \frac{9}{222}, \frac{16}{225}, ...$

Последовательность числителей: $2, 9, 16, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $c_1 = 2$ и разностью $d_c = 7$. Формула n-го члена: $c_n = 2 + (n-1)7 = 7n-5$.

Последовательность знаменателей: $219, 222, 225, ...$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $z_1 = 219$ и разностью $d_z = 3$. Формула n-го члена: $z_n = 219 + (n-1)3 = 3n+216$.

Общий член исходной последовательности: $g_n = \frac{7n-5}{3n+216}$.

Решим неравенство $g_n \le 1$:

$\frac{7n-5}{3n+216} \le 1$

Знаменатель $3n+216$ положителен при $n \ge 1$, поэтому умножим на него обе части неравенства:

$7n-5 \le 3n+216$

$4n \le 221$

$n \le \frac{221}{4}$

$n \le 55.25$

Поскольку $n$ - натуральное число, оно может принимать значения от 1 до 55 включительно.

Всего 55 таких членов.

Ответ: 55