Номер 24.25, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.25, страница 82.

24.25 a) $y_n = (-2)^n$;

В) $y_n = n^3 - 5$;

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$;

Г) $y_n = \sqrt{n+8}$.

а) Последовательность задана формулой $y_n = (-2)^n$. Это геометрическая прогрессия, знаменатель которой $q = -2$. Поскольку $|q| = |-2| = 2 > 1$, последовательность является расходящейся. Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы это продемонстрировать:
$y_1 = (-2)^1 = -2$
$y_2 = (-2)^2 = 4$
$y_3 = (-2)^3 = -8$
$y_4 = (-2)^4 = 16$
Члены последовательности неограниченно возрастают по модулю и чередуются по знаку, поэтому последовательность не стремится к какому-либо конечному числу. Предел $\lim_{n \to \infty} (-2)^n$ не существует.
Ответ: последовательность расходится.

б) Последовательность задана формулой $y_n = \cos\frac{\pi}{n+5}$. Чтобы найти предел этой последовательности при $n \to \infty$, сначала рассмотрим предел аргумента косинуса: $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n+5}$. Когда $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), знаменатель $n+5$ также стремится к бесконечности ($n+5 \to \infty$). Следовательно, дробь стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n+5} = 0$. Функция косинуса $f(x) = \cos x$ является непрерывной на всей числовой оси, поэтому можно внести знак предела под знак функции: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{\pi}{n+5}\right) = \cos\left(\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n+5}\right) = \cos(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, предел последовательности существует и равен 1.
Ответ: последовательность сходится, ее предел равен 1.

в) Последовательность задана формулой $y_n = n^3 - 5$. Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (n^3 - 5)$. Когда $n$ неограниченно возрастает, член $n^3$ также неограниченно возрастает. Вычитание константы 5 не влияет на стремление последовательности к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} n^3 = \infty$. Следовательно, $\lim_{n \to \infty} (n^3 - 5) = \infty$. Поскольку предел не является конечным числом, последовательность расходится (стремится к $+\infty$).
Ответ: последовательность расходится.

г) Последовательность задана формулой $y_n = \sqrt{n+8}$. Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+8}$. Рассмотрим выражение под корнем: $n+8$. Когда $n \to \infty$, то и $n+8 \to \infty$. Функция квадратного корня $f(x) = \sqrt{x}$ является непрерывной для $x \ge 0$ и возрастающей. Когда ее аргумент стремится к бесконечности, значение функции также стремится к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+8} = \infty$. Так как предел не является конечным числом, последовательность расходится (стремится к $+\infty$).
Ответ: последовательность расходится.