Номер 24.23, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.23, страница 82.

24.23 Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

а) $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n+1}, \dots$

б) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \dots, \frac{2n-1}{2n}, \dots$

в) $5, -5, 5, -5, \dots, (-1)^{n-1} \cdot 5, \dots$

г) $-2, 3, -4, 5, \dots, (-1)^n (n+1), \dots$

а) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = \frac{1}{n+1}$. Члены последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, знаменатель $n+1 \ge 2$. Из этого следует, что для любого члена последовательности выполняется двойное неравенство: $0 < x_n = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{2}$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом $\frac{1}{2}$. По определению, если последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.
Ответ: последовательность является ограниченной.

б) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = \frac{2n-1}{2n}$. Члены последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \ldots$. Преобразуем формулу общего члена: $x_n = \frac{2n}{2n} - \frac{1}{2n} = 1 - \frac{1}{2n}$. Поскольку $n \ge 1$, то $2n \ge 2$, и $0 < \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}$. Тогда для $x_n$ получаем: $1 - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2n} < 1$, что равносильно $\frac{1}{2} \le x_n < 1$. Все члены последовательности находятся в промежутке $[\frac{1}{2}, 1)$. Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $\frac{1}{2}$ и сверху числом 1.
Ответ: последовательность является ограниченной.

в) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = (-1)^{n-1} \cdot 5$. Члены последовательности: $5, -5, 5, -5, \ldots$. Эта последовательность принимает только два значения: 5 (при нечетных $n$) и -5 (при четных $n$). Множество значений последовательности состоит из двух элементов: $\{-5, 5\}$. Для любого члена последовательности $x_n$ выполняется неравенство $-5 \le x_n \le 5$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом -5 и сверху числом 5. Также можно сказать, что $|x_n| = 5$ для всех $n$, что удовлетворяет определению ограниченной последовательности (существует $M=5$ такое, что $|x_n| \le M$).
Ответ: последовательность является ограниченной.

г) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = (-1)^n (n+1)$. Члены последовательности: $-2, 3, -4, 5, -6, \ldots$. Найдем модуль общего члена последовательности: $|x_n| = |(-1)^n (n+1)| = |(-1)^n| \cdot |n+1| = 1 \cdot (n+1) = n+1$ (поскольку $n \ge 1$, то $n+1 > 0$). При неограниченном возрастании номера $n$, значение $|x_n| = n+1$ также неограниченно возрастает ($\lim_{n \to \infty} |x_n| = \infty$). Это означает, что не существует такого числа $M > 0$, чтобы для всех $n$ выполнялось неравенство $|x_n| \le M$. Например, для любого заданного числа $M$ можно взять натуральное число $n > M-1$, и тогда $|x_n| = n+1 > M$. Поскольку модуль членов последовательности не ограничен сверху, последовательность является неограниченной.
Ответ: последовательность не является ограниченной.