Номер 24.26, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.26, страница 83.

24.26 Приведите примеры последовательностей:

а) возрастающих и ограниченных сверху;

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

в) убывающих и ограниченных снизу;

г) убывающих и не ограниченных снизу.

а) возрастающих и ограниченных сверху

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = 1 - \frac{1}{n}$.

Докажем, что она является возрастающей. Для этого нужно показать, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$: $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$ $a_n = 1 - \frac{1}{n}$ Неравенство $a_{n+1} > a_n$ равносильно неравенству $1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \frac{1}{n}$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $-\frac{1}{n+1} > -\frac{1}{n}$. Умножая обе части на -1 и меняя знак неравенства, получаем: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Так как $n+1 > n$ и оба числа положительные, то это неравенство верно для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Докажем, что она ограничена сверху. Последовательность ограничена сверху, если существует такое число $M$, что $a_n \le M$ для всех $n$. Для нашей последовательности $a_n = 1 - \frac{1}{n}$. Поскольку $n \ge 1$, то $\frac{1}{n} > 0$. Следовательно, $a_n = 1 - \frac{1}{n} < 1$ для любого натурального $n$. Таким образом, все члены последовательности меньше 1. Можно взять в качестве верхней границы $M=1$. Последовательность ограничена сверху.

Ответ: $a_n = 1 - \frac{1}{n}$.

б) возрастающих и не ограниченных сверху

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.

Докажем, что она является возрастающей. Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$: $a_{n+1} = n+1$ $a_n = n$ Так как $n+1 > n$ для любого натурального $n$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Докажем, что она не ограничена сверху. Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такой член последовательности $a_n$, который будет больше $M$. Пусть $M$ — произвольное положительное число. Согласно свойству Архимеда, существует натуральное число $n$ такое, что $n > M$. Таким образом, член последовательности $a_n = n$ будет больше $M$. Это означает, что последовательность не ограничена сверху.

Ответ: $a_n = n$.

в) убывающих и ограниченных снизу

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.

Докажем, что она является убывающей. Для этого нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Сравним $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ и $a_n = \frac{1}{n}$. Неравенство $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ верно, так как $n+1 > n$ и оба числа положительные. Следовательно, последовательность является убывающей.

Докажем, что она ограничена снизу. Последовательность ограничена снизу, если существует такое число $m$, что $a_n \ge m$ для всех $n$. Для нашей последовательности $a_n = \frac{1}{n}$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, а значит $\frac{1}{n} > 0$. Таким образом, все члены последовательности положительны. Можно взять в качестве нижней границы $m=0$. Последовательность ограничена снизу.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$.

г) убывающих и не ограниченных снизу

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = -n$.

Докажем, что она является убывающей. Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$: $a_{n+1} = -(n+1) = -n - 1$ $a_n = -n$ Так как $-n-1 < -n$ для любого натурального $n$, то $a_{n+1} < a_n$. Следовательно, последовательность является убывающей.

Докажем, что она не ограничена снизу. Это означает, что для любого, сколь угодно малого (большого по модулю отрицательного) числа $m$, найдется такой член последовательности $a_n$, который будет меньше $m$. Пусть $m$ — произвольное число. Нам нужно найти такое $n$, чтобы $a_n < m$, то есть $-n < m$, что равносильно $n > -m$. Согласно свойству Архимеда, для любого числа (в данном случае $-m$) найдется натуральное число $n$, которое его превосходит. Таким образом, для любого $m$ найдется член последовательности $a_n = -n$, который меньше $m$. Это означает, что последовательность не ограничена снизу.

Ответ: $a_n = -n$.