Номер 24.29, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.29, страница 83.

24.29 a) $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$;

б) $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$;

В) $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$;

Г) $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$.

а) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$ при $n \to \infty$, мы разделим и числитель, и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n} + \frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, мы можем вычислить предел:
$\frac{5 + 0}{1 + 0} = 5$.
Ответ: $5$.

б) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$ при $n \to \infty$, мы разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{7n - 5}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7n}{n} - \frac{5}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 - \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{5}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, предел равен:
$\frac{7 - 0}{1 + 0} = 7$.
Ответ: $7$.

в) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$ при $n \to \infty$, мы разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражения $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, предел равен:
$\frac{3 + 0}{1 + 0} = 3$.
Ответ: $3$.

г) Чтобы найти предел последовательности $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$ при $n \to \infty$, мы разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ выражение $\frac{1}{n}$ стремится к нулю как в числителе, так и в знаменателе, предел равен:
$\frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.