Номер 25.1, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.1, страница 84.

25.1 Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = 3, q = \frac{1}{3}$;

б) $b_1 = -5, q = -0,1$;

в) $b_1 = -1, q = 0,2$;

г) $b_1 = 2, q = -\frac{1}{3}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

а)

Даны первый член прогрессии $b_1 = 3$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется, значит, можно найти сумму прогрессии.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

б)

Даны первый член прогрессии $b_1 = -5$ и знаменатель $q = -0,1$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{-5}{1 - (-0,1)} = \frac{-5}{1 + 0,1} = \frac{-5}{1,1} = -\frac{50}{11}$.

Ответ: $-\frac{50}{11}$.

в)

Даны первый член прогрессии $b_1 = -1$ и знаменатель $q = 0,2$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |0,2| = 0,2 < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{-1}{1 - 0,2} = \frac{-1}{0,8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} = -1,25$.

Ответ: $-1,25$.

г)

Даны первый член прогрессии $b_1 = 2$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.