Номер 25.3, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.3, страница 85.

Вычислите:

25.3 a) $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...;$

б) $49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + ...;$

в) $\frac{3}{2} - 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + ...;$

г) $125 + 25 + 5 + 1 + ... .$

а) Данное выражение $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 2$. Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второй член на первый: $q = \frac{1}{2} = 0.5$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{2} < 1$, ряд сходится, и его сумма может быть вычислена по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим значения в формулу: $S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

б) Данное выражение $49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 49$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$. Поскольку $|q| = \frac{1}{7} < 1$, ряд сходится. Используем формулу суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставляем значения: $S = \frac{49}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{49}{\frac{7-1}{7}} = \frac{49}{\frac{6}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6}$.
Ответ: $\frac{343}{6}$

в) Данное выражение $\frac{3}{2} - 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{3}{2}$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$, следовательно, ряд сходится. Вычисляем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$: $S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3+2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$

г) Данное выражение $125 + 25 + 5 + 1 + ...$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 125$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}$. Так как $|q| = \frac{1}{5} < 1$, ряд сходится. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставляем значения: $S = \frac{125}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{125}{\frac{5-1}{5}} = \frac{125}{\frac{4}{5}} = 125 \cdot \frac{5}{4} = \frac{625}{4}$.
Этот ответ также можно записать в виде десятичной дроби $156.25$.
Ответ: $\frac{625}{4}$