Номер 25.5, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.5, страница 85.

25.5 Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = -2, b_2 = 1$;

б) $b_1 = 3, b_2 = \frac{1}{3}$;

в) $b_1 = 7, b_2 = -1$;

г) $b_1 = -20, b_2 = 4$.

а) Дано: $b_1 = -2$, $b_2 = 1$.
Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Он равен отношению последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму $S$ можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$:
$S = \frac{-2}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{2}$, сумма $S = -\frac{4}{3}$.

б) Дано: $b_1 = 3$, $b_2 = \frac{1}{3}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9}$.
Так как $|q| = \frac{1}{9} < 1$, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{\frac{9-1}{9}} = \frac{3}{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{8}$.
Ответ: знаменатель $q = \frac{1}{9}$, сумма $S = \frac{27}{8}$.

в) Дано: $b_1 = 7$, $b_2 = -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{7}| < 1$, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{7}{1 - (-\frac{1}{7})} = \frac{7}{1 + \frac{1}{7}} = \frac{7}{\frac{7+1}{7}} = \frac{7}{\frac{8}{7}} = 7 \cdot \frac{7}{8} = \frac{49}{8}$.
Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{7}$, сумма $S = \frac{49}{8}$.

г) Дано: $b_1 = -20$, $b_2 = 4$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{5}| < 1$, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-20}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-20}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-20}{\frac{5+1}{5}} = \frac{-20}{\frac{6}{5}} = -20 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{100}{6} = -\frac{50}{3}$.
Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{5}$, сумма $S = -\frac{50}{3}$.