Номер 25.12, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.12, страница 86.

25.12 Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

Пусть первый член искомой геометрической прогрессии равен $b_1$, а её знаменатель равен $q$. Так как сумма членов прогрессии является конечным числом, речь идет о бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для которой выполняется условие $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.По условию задачи, сумма членов прогрессии равна 18. Составим первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = 18$

Рассмотрим последовательность, составленную из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \ldots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2(q^2)^2, \ldots$.Эта последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$.

Сумма этой новой прогрессии, по условию, равна 162. Составим второе уравнение:

$\frac{b_1^2}{1-q^2} = 162$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 18 \\ \frac{b_1^2}{1-q^2} = 162 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$:

$\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)} = 162$

Его можно переписать в виде:

$(\frac{b_1}{1-q}) \cdot (\frac{b_1}{1+q}) = 162$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $\frac{b_1}{1-q} = 18$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$18 \cdot \frac{b_1}{1+q} = 162$

Отсюда найдем выражение $\frac{b_1}{1+q}$:

$\frac{b_1}{1+q} = \frac{162}{18} = 9$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$\begin{cases} b_1 = 18(1-q) \\ b_1 = 9(1+q) \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти $q$:

$18(1-q) = 9(1+q)$

Разделим обе части на 9:

$2(1-q) = 1+q$

$2 - 2q = 1 + q$

$2 - 1 = q + 2q$

$1 = 3q$

$q = \frac{1}{3}$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q$ в любое из уравнений для $b_1$. Например, в $b_1 = 9(1+q)$:

$b_1 = 9(1 + \frac{1}{3}) = 9(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

Итак, мы нашли первый член прогрессии $b_1=12$ и её знаменатель $q=\frac{1}{3}$.

Составим искомую геометрическую прогрессию, выписав её первые несколько членов:

$b_1 = 12$

$b_2 = b_1 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$

$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$

... и так далее.

Ответ: Искомая геометрическая прогрессия: $12, 4, \frac{4}{3}, \frac{4}{9}, \dots$