Номер 26.3, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.3, страница 88.

26.3 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей указанным свойством:

а) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$;

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$;

б) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;

г) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

a) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ означает, что при неограниченном увеличении аргумента $x$, значения функции $f(x)$ стремятся к числу 5. Геометрически это означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

В качестве примера такой функции можно взять $f(x) = 5 + \frac{1}{x}$. Найдем ее предел при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (5 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} 5 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 5 + 0 = 5$.

График этой функции представляет собой гиперболу $y = 1/x$, смещенную на 5 единиц вверх. При $x \to \infty$, ветвь гиперболы приближается к прямой $y=5$ сверху. Можно выбрать и другую функцию, например, $f(x) = 5 - e^{-x}$, график которой будет приближаться к асимптоте $y=5$ снизу.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при $x \to \infty$ (то есть, при движении вправо по оси абсцисс) неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=5$. Кривая может приближаться к этой прямой сверху, снизу или колеблясь вокруг нее.

б) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$ означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

Примером такой функции может служить $f(x) = -2 + \frac{1}{x^2}$. Проверим предел:

$\lim_{x \to \infty} (-2 + \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} (-2) + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = -2 + 0 = -2$.

График этой функции при $x \to \infty$ будет приближаться к прямой $y=-2$ сверху, так как слагаемое $\frac{1}{x^2}$ всегда положительно и стремится к нулю.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при движении вправо по оси $Ox$ неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=-2$.

в) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$ означает, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

Рассмотрим функцию $f(x) = -5 - \frac{1}{x}$. Ее предел при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (-5 - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} (-5) - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = -5 - 0 = -5$.

Так как при больших положительных $x$ слагаемое $-\frac{1}{x}$ является малым отрицательным числом, график функции будет приближаться к асимптоте $y=-5$ снизу.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при $x \to \infty$ асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=-5$.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

Простейшими примерами таких функций являются $f(x) = \frac{1}{x}$ или $f(x) = e^{-x}$. Для первой функции:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.

График функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это гипербола. В первой четверти, при $x \to \infty$, ее ветвь приближается к оси $Ox$ сверху. График функции $f(x) = e^{-x}$ также приближается к оси $Ox$ сверху при $x \to \infty$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при $x \to \infty$ неограниченно приближается к оси абсцисс ($y=0$).