Номер 26.5, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.5, страница 88.

26.5 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=h(x)$, обладающей указанными свойствами:

а) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ и функция возрастает;

б) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу;

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает;

г) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена.

а) Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$. Условие, что функция возрастает, означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) < h(x_2)$.

Чтобы удовлетворить обоим условиям, функция должна возрастать и при этом приближаться к своему пределу $y=4$. Это возможно только если она приближается к асимптоте снизу, то есть значения функции всегда остаются меньше 4.

Эскиз графика: кривая, которая монотонно поднимается слева направо. При $x \to +\infty$ (при движении вправо) кривая всё ближе и ближе подходит к горизонтальной прямой $y=4$, не пересекая её. Например, график может выходить из третьей или четвертой четверти, пересекать ось $y$ в любой точке ниже $y=4$ и далее стремиться к своей асимптоте.

Примером такой функции может служить $h(x) = 4 - e^{-x}$. Её производная $h'(x) = e^{-x}$ всегда положительна, значит, функция возрастает. Предел при $x \to +\infty$ равен $4 - 0 = 4$.

Ответ: Эскиз представляет собой возрастающую кривую, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=4$ при $x \to +\infty$, приближаясь к ней снизу.

б) Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ означает, что прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$. Условие, что функция ограничена снизу, означает, что существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется $h(x) \ge M$. То есть, график функции целиком лежит выше некоторой горизонтальной прямой $y=M$.

Функция не обязана быть монотонной. Она может иметь локальные минимумы и максимумы. Главное, чтобы при $x \to +\infty$ её значения стремились к 1, и чтобы существовал глобальный минимум или нижняя грань значений.

Эскиз графика: при движении вправо ($x \to +\infty$) кривая приближается к прямой $y=1$. При этом на всей области определения график не опускается ниже некоторой горизонтальной прямой. Например, кривая может сначала убывать, достичь точки минимума, а затем возрастать, стремясь к асимптоте $y=1$ снизу. Другой вариант — кривая приближается к асимптоте $y=1$ сверху, всё время оставаясь выше неё (и, следовательно, выше любой прямой $y=M$ при $M \le 1$).

Примером такой функции является $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1}$. Эта функция ограничена снизу числом 1 (её значения лежат в полуинтервале $(1, 2]$), и её предел при $x \to +\infty$ равен $1+0=1$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, которая при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к прямой $y=1$ и при этом целиком расположена выше некоторой горизонтальной прямой $y=M$.

в) Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$. Условие, что функция убывает, означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) > h(x_2)$.

Совмещение этих двух условий означает, что функция должна убывать, приближаясь к своему пределу $y=5$ при $x \to -\infty$. Это возможно, только если она приближается к асимптоте сверху, то есть значения функции при $x \to -\infty$ немного больше 5.

Эскиз графика: кривая, которая монотонно опускается слева направо. При $x \to -\infty$ (далеко слева) кривая очень близка к горизонтальной прямой $y=5$, находясь над ней. С увеличением $x$ (при движении вправо) кривая всё дальше уходит вниз от асимптоты.

Примером такой функции может служить $h(x) = 5 - e^x$. Её производная $h'(x) = -e^x$ всегда отрицательна, значит, функция убывает. Предел при $x \to -\infty$ равен $5 - 0 = 5$.

Ответ: Эскиз представляет собой убывающую кривую, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=5$ при $x \to -\infty$, приближаясь к ней сверху.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ означает, что прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой графика как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$. Условие, что функция ограничена, означает, что существуют такие числа $M$ и $N$, что для любого $x$ выполняется $M \le h(x) \le N$. То есть, график функции целиком лежит внутри горизонтальной полосы между прямыми $y=M$ и $y=N$. Для непрерывной функции наличие конечных пределов на $\pm\infty$ уже гарантирует её ограниченность.

Эскиз графика: кривая, которая с обеих сторон (и слева, и справа) приближается к горизонтальной прямой $y=1$. В средней части график может вести себя по-разному: иметь один или несколько "холмов" (максимумов) или "впадин" (минимумов). Простой пример — "колоколообразная" кривая, симметричная относительно оси $y$. Она начинается слева вблизи прямой $y=1$, поднимается до максимума на оси $y$, а затем опускается, снова приближаясь к $y=1$ справа.

Примером такой функции является $h(x) = 1 + e^{-x^2}$. Её предел при $x \to \pm\infty$ равен $1+0=1$. Максимальное значение достигается при $x=0$ и равно $h(0)=2$. Минимальное значение (нижняя грань) — 1. Таким образом, функция ограничена: $1 < h(x) \le 2$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, расположенную в некоторой горизонтальной полосе, которая и на левом, и на правом "бесконечном" конце асимптотически приближается к прямой $y=1$.