Номер 26.12, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.12, страница 90.

26.12 Известно, что $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$ и $\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$.

Вычислите:

a) $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x));$

б) $\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x));$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{h(x)};$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)}.$

Для решения данной задачи используются основные теоремы о пределах (арифметические свойства пределов). Поскольку пределы функций $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ при $x \to \infty$ существуют и конечны, мы можем применять следующие правила:

• Предел суммы: $\lim_{x \to c} (u(x) + v(x)) = \lim_{x \to c} u(x) + \lim_{x \to c} v(x)$
• Предел произведения: $\lim_{x \to c} (u(x) \cdot v(x)) = (\lim_{x \to c} u(x)) \cdot (\lim_{x \to c} v(x))$
• Предел частного: $\lim_{x \to c} \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{\lim_{x \to c} u(x)}{\lim_{x \to c} v(x)}$, при условии, что $\lim_{x \to c} v(x) \neq 0$.

По условию нам даны следующие значения пределов:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$

$\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$

Теперь вычислим каждый из требуемых пределов, подставляя данные значения.

---

а) $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x))$

Используем правило о пределе суммы двух функций:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = 2 + (-3) = -1$.

Ответ: $-1$

---

б) $\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x))$

Используем правило о пределе произведения двух функций:

$\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x)) = (\lim_{x \to \infty} g(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} f(x)) = (-3) \cdot 2 = -6$.

Ответ: $-6$

---

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{h(x)}$

Применяем последовательно правила о пределе произведения и частного. Предел знаменателя не равен нулю ($\lim_{x \to \infty} h(x) = 9 \neq 0$), поэтому правило частного применимо.

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)g(x)}{h(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x))}{\lim_{x \to \infty} h(x)} = \frac{(\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} g(x))}{\lim_{x \to \infty} h(x)} = \frac{2 \cdot (-3)}{9} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$

---

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)}$

Константы можно выносить за знак предела. Затем применяем правило о пределе частного. Предел знаменателя не равен нулю ($\lim_{x \to \infty} 3g(x) = 3 \cdot (-3) = -9 \neq 0$), поэтому правило применимо.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)} = \frac{2 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x)}{3 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot (-3)} = \frac{18}{-9} = -2$.

Ответ: $-2$