Номер 26.14, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.14, страница 90.

26.14 a) $lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{x-2};$

б) $lim_{x\to\infty} \frac{3x-4}{2x+7};$

В) $lim_{x\to\infty} \frac{x-4}{x+3};$

Г) $lim_{x\to\infty} \frac{7x+9}{6x-1}.$

а)

Чтобы найти предел функции $\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2}$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$, выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю (так как предел $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n>0$), мы можем подставить их предельные значения:

$\frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1

б)

Найдем предел $\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7}$. Здесь также имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$, так как при $x \to \infty$ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x-4}{x}}{\frac{2x+7}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}}$

При $x \to \infty$, дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{7}{x}$ стремятся к 0. Подставляем предельные значения:

$\frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

в)

Для предела $\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3}$ снова используем метод деления на старшую степень $x$, чтобы раскрыть неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x-4}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} = 0$ и $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0$, получаем:

$\frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1

г)

Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7x+9}{x}}{\frac{6x-1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 - \frac{1}{x}}$

Учитывая, что при $x \to \infty$, выражения $\frac{9}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к 0, находим значение предела:

$\frac{7 + 0}{6 - 0} = \frac{7}{6}$

Ответ: $\frac{7}{6}$