Номер 26.20, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §26. Предел функции - номер 26.20, страница 92.

Условие.

Вычислите:

26.20 a) $\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5);$

В) $\lim_{x \to -1} (x^2 + 6x - 8);$

б) $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x + 3}{4x + 2};$

Г) $\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x - 14}{21x + 2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы вычислить предел $\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5)$, мы имеем дело с многочленом. Многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой прямой. Это означает, что предел функции при $x$, стремящемся к некоторому числу, равен значению функции в этой точке. Поэтому мы можем просто подставить $x=1$ в выражение:

$\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$.

Ответ: $3$

б)

Для вычисления предела $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2}$ мы имеем дело с рациональной функцией. Рациональные функции непрерывны во всех точках, где их знаменатель не равен нулю. Сначала проверим значение знаменателя в точке $x = \frac{1}{2}$:

$4x + 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Поскольку знаменатель не равен нулю ($4 \neq 0$), функция непрерывна в этой точке. Следовательно, мы можем найти предел путем прямой подстановки значения $x = \frac{1}{2}$ в функцию:

$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3}{4 \cdot \frac{1}{2} + 2} = \frac{1+3}{2+2} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: $1$

в)

Для вычисления предела $\lim_{x \to -1} (x^2 + 6x - 8)$ мы снова имеем дело с многочленом. Как и в пункте а), функция непрерывна, и мы можем найти предел прямой подстановкой $x=-1$ в выражение:

$\lim_{x \to -1} (x^2 + 6x - 8) = (-1)^2 + 6(-1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13$.

Ответ: $-13$

г)

Для вычисления предела $\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2}$ мы имеем дело с рациональной функцией. Проверим значение знаменателя в точке $x = -\frac{1}{3}$:

$21x + 2 = 21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2 = -7 + 2 = -5$.

Знаменатель не равен нулю ($-5 \neq 0$), поэтому функция непрерывна в этой точке. Мы можем найти предел путем прямой подстановки:

$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2} = \frac{7 \cdot (-\frac{1}{3}) - 14}{21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2} = \frac{-\frac{7}{3} - 14}{-5} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{42}{3}}{-5} = \frac{-\frac{49}{3}}{-5} = \frac{49}{15}$.

Ответ: $\frac{49}{15}$