Номер 26.23, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.23, страница 93.

26.23 a) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x};$

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}.$

а) Найдем предел $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} $.

При прямой подстановке значения $ x = \frac{\pi}{2} $ в выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $:

$ \frac{\sin(3\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(3\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{-1 + 1}{0 + 0} = \frac{0}{0} $

Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (сумма синусов и сумма косинусов):

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $ \sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin(2x)\cos(x) $.

Знаменатель: $ \cos 3x + \cos x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\cos(x) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sin(2x)\cos(x)}{2\cos(2x)\cos(x)} $

Поскольку $ x \to \frac{\pi}{2} $, но $ x \neq \frac{\pi}{2} $, то $ \cos(x) \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ 2\cos(x) $:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan(2x) $

Теперь найдем значение предела, подставив $ x = \frac{\pi}{2} $:

$ \tan(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \tan(\pi) = 0 $

Ответ: $0$

б) Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} $.

При прямой подстановке значения $ x = 0 $ в выражение также получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $:

$ \frac{\cos(0) - \cos(0)}{\sin(0) + \sin(0)} = \frac{1-1}{0+0} = \frac{0}{0} $

Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулами преобразования разности и суммы тригонометрических функций в произведение (разность косинусов и сумма синусов):

$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $ \cos 5x - \cos 3x = -2\sin\frac{5x+3x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2} = -2\sin(4x)\sin(x) $.

Знаменатель: $ \sin 5x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin(4x)\cos(x) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin(4x)\sin(x)}{2\sin(4x)\cos(x)} $

Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin(4x) \neq 0 $, и мы можем сократить дробь на $ 2\sin(4x) $:

$ \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = \lim_{x \to 0} (-\tan(x)) $

Теперь найдем значение предела, подставив $ x = 0 $:

$ -\tan(0) = 0 $

Ответ: $0$