Номер 26.24, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.24, страница 93.

26.24 а) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1};$

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x - 6};$

В) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 - 2x - 3};$

Г) $\lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9}.$

а)

Требуется найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$.

При прямой подстановке предельного значения $x = 1$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1^2 + 2(1) - 3 = 0$ и $1 - 1 = 0$.

Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель $x^2 + 2x - 3$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, разложение на множители имеет вид $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

Теперь подставим это разложение в исходный предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x - 1}$

Поскольку $x$ стремится к 1, но не равен 1 ($x \neq 1$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} (x+3)$

Теперь мы можем выполнить подстановку $x = 1$ в полученное выражение:

$1 + 3 = 4$

Ответ: 4

б)

Требуется найти предел $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x - 6}$.

При подстановке значения $x = -2$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: числитель $-2 + 2 = 0$, знаменатель $2(-2)^2 + (-2) - 6 = 2(4) - 2 - 6 = 8 - 8 = 0$.

Разложим знаменатель $2x^2 + x - 6$ на множители. Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 6 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Тогда разложение знаменателя будет $2(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - (-2))(x - \frac{3}{2}) = (x+2)(2x-3)$.

Перепишем предел с разложенным знаменателем:

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x+2)(2x-3)}$

Сократим дробь на $(x+2)$, так как $x \neq -2$:

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{2x-3}$

Подставим $x = -2$ в оставшееся выражение:

$\frac{1}{2(-2) - 3} = \frac{1}{-4 - 3} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{7}$

в)

Требуется найти предел $\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 - 2x - 3}$.

При подстановке $x = -1$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$: числитель $-1 + 1 = 0$, знаменатель $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Разложим знаменатель $x^2 - 2x - 3$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x - (-1))(x - 3) = (x+1)(x-3)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x+1)(x-3)}$

Сократим общий множитель $(x+1)$:

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим значение $x = -1$:

$\frac{1}{-1 - 3} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

г)

Требуется найти предел $\lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9}$.

Подстановка $x=9$ приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$, так как $9^2 - 11(9) + 18 = 81 - 99 + 18 = 0$ и $9 - 9 = 0$.

Разложим числитель $x^2 - 11x + 18$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 11x + 18 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$. Следовательно, $x^2 - 11x + 18 = (x-2)(x-9)$.

Перепишем предел в новом виде:

$\lim_{x \to 9} \frac{(x-2)(x-9)}{x - 9}$

Сократим дробь на $(x-9)$, так как $x \neq 9$:

$\lim_{x \to 9} (x-2)$

Подставим $x=9$ в итоговое выражение:

$9 - 2 = 7$

Ответ: 7