Номер 26.17, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §26. Предел функции - номер 26.17, страница 90.

Условие.

26.17 Изобразите эскиз графика какой-нибудь функции $y=g(x)$, обладающей заданным свойством:

a) $\lim_{x \to -1} g(x) = 2;$

б) $\lim_{x \to 2} g(x) = -3;$

в) $\lim_{x \to -7} g(x) = -4;$

г) $\lim_{x \to 5} g(x) = 3,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Условие $\lim_{x \to -1} g(x) = 2$ означает, что при стремлении аргумента $x$ к числу $-1$, значения функции $g(x)$ стремятся к числу $2$. Геометрически это означает, что точки графика функции $y=g(x)$ при приближении их абсциссы к $-1$ неограниченно приближаются к точке с координатами $(-1, 2)$.

Чтобы изобразить эскиз такого графика, можно нарисовать координатную плоскость, отметить на ней точку $(-1, 2)$ и провести через неё любую непрерывную линию. Самый простой пример — это горизонтальная прямая $y=2$.

Также можно изобразить функцию, которая не определена в точке $x = -1$ или имеет в ней другое значение. В этом случае на графике в точке $(-1, 2)$ будет "выколотая" точка (незакрашенный кружок), а ветви графика будут подходить к этой точке слева и справа.

Ответ: Эскиз графика может представлять собой любую кривую, которая в окрестности точки $x = -1$ стремится к значению $y = 2$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(-1, 2)$ (как прямая или парабола), или кривая с выколотой точкой в $(-1, 2)$.

б)

Условие $\lim_{x \to 2} g(x) = -3$ означает, что при стремлении аргумента $x$ к числу $2$, значения функции $g(x)$ стремятся к числу $-3$. На графике это означает, что при приближении абсциссы $x$ к $2$, точки графика функции $y=g(x)$ неограниченно приближаются к точке с координатами $(2, -3)$.

Для построения эскиза нужно нарисовать на координатной плоскости кривую, которая в окрестности точки $x=2$ подходит как можно ближе к значению $y=-3$.

Простейшим примером такой функции является постоянная функция $g(x)=-3$. Её график — это горизонтальная прямая. Также можно нарисовать любую другую непрерывную кривую, проходящую через точку $(2, -3)$.

Ответ: Эскиз графика — это любая кривая, которая в окрестности точки $x = 2$ приближается к прямой $y=-3$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(2, -3)$, или кривая с выколотой точкой в $(2, -3)$.

в)

Условие $\lim_{x \to -7} g(x) = -4$ означает, что когда $x$ стремится к $-7$, значения $g(x)$ стремятся к $-4$. Геометрически это интерпретируется так: точки на графике функции $y=g(x)$ подходят сколь угодно близко к точке $(-7, -4)$, когда их абсцисса $x$ подходит к $-7$.

Для эскиза можно изобразить любую кривую, которая в окрестности $x = -7$ приближается к точке $(-7, -4)$. Например, можно нарисовать график непрерывной функции, проходящий через эту точку. Это может быть прямая, парабола или любая другая гладкая кривая.

Например, функция $g(x) = x+3$ удовлетворяет этому условию, так как $\lim_{x \to -7} (x+3) = -7+3 = -4$. Её график — это прямая, проходящая через точку $(-7, -4)$.

Ответ: Эскиз графика — это любая кривая, которая в окрестности точки $x = -7$ приближается к прямой $y=-4$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(-7, -4)$, или кривая с выколотой точкой в $(-7, -4)$.

г)

Условие $\lim_{x \to 5} g(x) = 3,5$ означает, что при стремлении аргумента $x$ к числу $5$, значения функции $g(x)$ стремятся к числу $3,5$. На графике это означает, что при приближении абсциссы $x$ к $5$, точки графика функции $y=g(x)$ неограниченно приближаются к точке с координатами $(5; 3,5)$.

Эскиз графика должен показывать кривую, которая в окрестности $x=5$ подходит к уровню $y=3,5$. Можно нарисовать кривую, которая проходит через точку $(5; 3,5)$, например, параболу $y = -(x-5)^2 + 3,5$.

Чтобы подчеркнуть, что значение предела не зависит от значения функции в самой точке, можно нарисовать график с "выколотой точкой". Например, график функции $g(x)=3,5$ при $x \ne 5$ и $g(5)=1$. На эскизе это будет горизонтальная прямая $y=3,5$ с выколотой точкой в $(5; 3,5)$ и одной закрашенной точкой в $(5, 1)$.

Ответ: Эскиз графика — это любая кривая, которая в окрестности точки $x = 5$ приближается к прямой $y=3,5$. Например, это может быть непрерывная кривая, проходящая через точку $(5; 3,5)$, или кривая с выколотой точкой в $(5; 3,5)$.