Номер 26.15, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.15, страница 90.

26.15 а) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5}$;

В) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1}$;

Г) $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}$.

а) Чтобы найти предел $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$, мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2 + 9}{x^2}}{\frac{x^2 + 2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{9}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{9}{x^2}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю, мы получаем:
$\frac{4 + 0}{1 + 0} = 4$.
Ответ: 4

б) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5}$ мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x - 1}{x^2}}{\frac{x^2 + 7x + 5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} + \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе (такие как $\frac{3}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{7}{x}$, $\frac{5}{x^2}$), стремятся к нулю. В результате получаем:
$\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0

в) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1}$ мы снова сталкиваемся с неопределенностью $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x - 1}{x^2}}{\frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
Так как при $x \to \infty$ слагаемые $-\frac{2}{x}$, $-\frac{1}{x^2}$, $-\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0$.
Ответ: 0

г) Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}$ мы имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^2 + 4x - 3}{x^2}}{\frac{5x^2 + 2x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю. Таким образом, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$\frac{10 + 0 - 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2$.
Ответ: 2