Номер 26.10, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.10, страница 89.

26.10 Изобразите график непрерывной на $(-\infty; +\infty)$ функции

$y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$; $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$; $E(f) = [-5; 5]$; функция убывает

на $[2; 7]$.

Для построения графика функции $y=f(x)$, отвечающего заданным условиям, необходимо последовательно проанализировать каждое из них и объединить их в едином эскизе.

Анализ заданных свойств функции:

• Функция непрерывна на $(-\infty; +\infty)$: Это означает, что ее график — это сплошная линия без разрывов, скачков или проколов.
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$: Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$. То есть, при движении вправо по оси $x$, график будет неограниченно приближаться к этой оси.
• $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$: На всем интервале от $-\infty$ до 0 график функции должен находиться выше оси абсцисс. Так как функция непрерывна, это также означает, что в точке $x=0$ значение функции должно быть неотрицательным, то есть $f(0) \ge 0$.
• $E(f) = [-5; 5]$: Область значений функции — отрезок от -5 до 5. Это значит, что самое большое значение, которое принимает функция (глобальный максимум), равно 5, а самое маленькое (глобальный минимум) — равно -5. Эти значения должны достигаться в некоторых точках, так как функция непрерывна.
• Функция убывает на $[2; 7]$: На отрезке от $x=2$ до $x=7$ график функции должен идти вниз (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).

Построение эскиза графика:

Основываясь на этих свойствах, построим один из возможных вариантов графика.

1. Начнем с левой части графика (при $x < 0$). Здесь $f(x) > 0$. Глобальный максимум функции равен 5. Этот максимум должен быть достигнут в некоторой точке. Расположим эту точку в левой полуплоскости, например, в $x = -2$. Таким образом, на графике будет точка $(-2, 5)$. Можно предположить, что при $x \to -\infty$ функция асимптотически приближается к оси $x$ ($f(x) \to 0$), затем возрастает до максимума в точке $(-2, 5)$, а после этого убывает, пересекая ось ординат в некоторой точке $(0, y_0)$, где $y_0 \ge 0$. Для конкретики, пусть $f(0) = 1$.
2. Теперь рассмотрим правую часть графика (при $x \ge 0$). Глобальный минимум функции, равный -5, должен быть достигнут при $x \ge 0$, так как при $x<0$ функция положительна.
3. Функция должна убывать на отрезке $[2; 7]$. Это означает, что $f(2) > f(7)$. Это условие не позволяет глобальному минимуму находиться строго внутри интервала $(2; 7)$, так как в точке минимума убывание сменяется возрастанием. Следовательно, точка минимума может быть либо на границе отрезка (например, в $x=7$), либо за его пределами ($x > 7$).
4. Объединим все условия. Пусть от точки $(0, 1)$ функция продолжает убывать. Она проходит через точки с абсциссами $x=2$ и $x=7$, сохраняя тенденцию к убыванию. Чтобы выполнить условие об области значений, пусть глобальный минимум $f(x) = -5$ достигается в точке $x=7$. Таким образом, на графике будет точка $(7, -5)$. При таком построении функция может убывать на всем отрезке $[0; 7]$, что автоматически обеспечивает ее убывание и на вложенном отрезке $[2; 7]$.
5. Наконец, при $x > 7$ функция должна от своего минимума в точке $(7, -5)$ начать возрастать и стремиться к горизонтальной асимптоте $y=0$ снизу, чтобы удовлетворить условию $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

Изображение возможного графика функции:

Описание построенного графика:

• График представляет собой единую гладкую кривую, что соответствует непрерывности.
• При $x < 0$ кривая находится выше оси $x$. Она имеет глобальный максимум в точке $(-2, 5)$.
• В точке $x=0$ функция пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.
• На отрезке $[2, 7]$ (закрашенная оранжевым область) функция монотонно убывает.
• В точке $x=7$ функция достигает своего глобального минимума, равного -5.
• При $x \to +\infty$ график поднимается от своего минимума и асимптотически приближается к оси $x$ снизу, что удовлетворяет условию $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.
• Наибольшее значение функции равно 5, наименьшее равно -5 (показано зелеными пунктирными линиями), так что область значений $E(f) = [-5, 5]$.

Ответ:

График, удовлетворяющий всем заданным условиям, представлен на эскизе выше. Важно отметить, что это лишь один из бесконечного множества возможных вариантов, так как условия не определяют функцию однозначно. Ключевые черты построенного примера: глобальный максимум $y=5$ достигается при $x<0$ (в точке $x=-2$), глобальный минимум $y=-5$ достигается при $x \ge 0$ (в точке $x=7$), функция убывает на отрезке $[2; 7]$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.