Номер 26.4, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.4, страница 88.

26.4 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей указанными свойствами:

a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$ и $f(x) > 0$ на $(-\infty, +\infty)$;

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ и $f(x) < 0$ на $(-\infty, +\infty)$.

а)

Нам нужно построить эскиз графика функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$
2. $f(x) > 0$ на интервале $(-\infty, +\infty)$

Разберем эти условия.

Первое условие $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$, когда $x$ стремится к плюс бесконечности. Это значит, что при увеличении $x$ график функции будет все ближе и ближе подходить к прямой $y=5$.

Второе условие $f(x) > 0$ на $(-\infty, +\infty)$ означает, что весь график функции должен быть расположен выше оси абсцисс ($Ox$).

Таким образом, эскиз графика должен представлять собой кривую, которая полностью лежит в верхней полуплоскости (над осью $Ox$) и при движении вправо по оси $x$ неограниченно приближается к горизонтальной линии $y=5$. Приближение к асимптоте может происходить как сверху, так и снизу, главное, чтобы график не пересекал ось $Ox$.

В качестве примера функции, обладающей такими свойствами, можно рассмотреть $f(x) = 5 + e^{-x}$.

• Проверим предел: $\lim_{x \to +\infty} (5 + e^{-x}) = 5 + 0 = 5$.
• Проверим знак: поскольку $e^{-x}$ всегда больше нуля для любого действительного $x$, то $f(x) = 5 + e^{-x}$ всегда будет больше 5, а значит, и больше 0.

График этой функции при $x \to -\infty$ уходит в $+\infty$, пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 6)$ и при $x \to +\infty$ приближается к асимптоте $y=5$ сверху.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, полностью расположенную над осью $Ox$. При $x \to +\infty$ эта кривая асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=5$. Пример такого графика — кривая, которая слева направо убывает из $+\infty$ и приближается к линии $y=5$.

б)

Нам нужно построить эскиз графика функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$
2. $f(x) < 0$ на интервале $(-\infty, +\infty)$

Разберем эти условия.

Первое условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что прямая $y=0$ (то есть ось абсцисс $Ox$) является горизонтальной асимптотой для графика функции, когда $x$ стремится к минус бесконечности.

Второе условие $f(x) < 0$ на $(-\infty, +\infty)$ означает, что весь график функции должен быть расположен ниже оси абсцисс ($Ox$).

Совмещая оба условия, получаем, что график функции должен быть полностью в нижней полуплоскости и при $x \to -\infty$ приближаться к оси $Ox$ снизу.

В качестве примера функции, обладающей такими свойствами, можно рассмотреть $f(x) = -e^x$.

• Проверим предел: $\lim_{x \to -\infty} (-e^x) = -0 = 0$.
• Проверим знак: поскольку показательная функция $e^x$ всегда положительна ($e^x>0$), то функция $f(x) = -e^x$ всегда будет отрицательна ($f(x)<0$).

График этой функции при $x \to -\infty$ приближается к оси $Ox$ снизу, проходит через точку $(0, -1)$ и при $x \to +\infty$ уходит в $-\infty$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, полностью расположенную под осью $Ox$. При $x \to -\infty$ эта кривая асимптотически приближается к оси $Ox$ снизу. Пример такого графика — кривая, которая слева направо возрастает от значений, близких к нулю, проходит через отрицательную часть оси $Oy$ и далее может уходить в $-\infty$.