Номер 26.1, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §26. Предел функции - номер 26.1, страница 86.

Условие.

26.1 Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 19—22, имеет предел при $x \to +\infty$? При $x \to -\infty$? При $x \to \infty$?

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для ответа на вопрос необходимо проанализировать поведение каждой функции на бесконечности. Конечный предел функции при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$ существует, если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой (горизонтальной асимптоте) при движении вправо или влево по оси $x$ соответственно.

Проанализируем каждый график:

Рис. 19: На графике изображена парабола, ветви которой направлены вверх. При $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, конечных пределов на $+\infty$ и на $-\infty$ у этой функции нет.

Рис. 20: При $x \to +\infty$ график функции приближается к горизонтальной прямой $y=2$. Это означает, что $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. При $x \to -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$), поэтому конечного предела на $-\infty$ нет.

Рис. 21: При $x \to -\infty$ график функции приближается к оси абсцисс, то есть к прямой $y=0$. Это означает, что $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. При $x \to +\infty$ значение $y$ неограниченно убывает ($y \to -\infty$), поэтому конечного предела на $+\infty$ нет.

Рис. 22: При $x \to +\infty$ график функции приближается к оси абсцисс ($y=0$), следовательно, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. При $x \to -\infty$ график также приближается к оси абсцисс ($y=0$), следовательно, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

На основе этого анализа ответим на вопросы.

Какая из функций ... имеет предел при $x \to +\infty$?
Предел при $x \to +\infty$ существует у тех функций, графики которых имеют горизонтальную асимптоту справа. Из нашего анализа следует, что это функции на рисунках 20 (предел равен 2) и 22 (предел равен 0).
Ответ: функции, изображенные на рисунках 20 и 22.

При $x \to -\infty$?
Предел при $x \to -\infty$ существует у тех функций, графики которых имеют горизонтальную асимптоту слева. Из нашего анализа следует, что это функции на рисунках 21 (предел равен 0) и 22 (предел равен 0).
Ответ: функции, изображенные на рисунках 21 и 22.

При $x \to \infty$?
Предел функции при $x \to \infty$ (без знака) существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$. Проверим это условие для каждой функции:
- Рис. 19: пределы на $+\infty$ и $-\infty$ не существуют.
- Рис. 20: предел на $+\infty$ существует, а на $-\infty$ — нет.
- Рис. 21: предел на $-\infty$ существует, а на $+\infty$ — нет.
- Рис. 22: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. Оба предела существуют и равны. Следовательно, у этой функции существует предел при $x \to \infty$, и он равен 0.
Ответ: функция, изображенная на рисунке 22.