Номер 25.11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.11, страница 86.

25.11 Найдите геометрическую прогрессию, если её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.

Пусть $b_1$ — первый член искомой геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Данная формула применима только при условии, что знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. По условию задачи, сумма прогрессии равна 24. Составим первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = 24$

Сумма первых трёх членов прогрессии ($b_1, b_2, b_3$) равна 21. Выразим эти члены через $b_1$ и $q$: $b_1, b_1q, b_1q^2$. Их сумма равна:

$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 21$

Вынесем $b_1$ за скобки, чтобы получить второе уравнение:

$b_1(1 + q + q^2) = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 24 \\ b_1(1 + q + q^2) = 21 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$ через $q$:

$b_1 = 24(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$24(1-q)(1 + q + q^2) = 21$

Выражение в скобках $(1-q)(1+q+q^2)$ является формулой разности кубов, которая равна $1^3 - q^3 = 1-q^3$. Уравнение упрощается:

$24(1-q^3) = 21$

Решим это уравнение относительно $q$:

$1-q^3 = \frac{21}{24}$

Сократим дробь в правой части:

$1-q^3 = \frac{7}{8}$

Отсюда находим $q^3$:

$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

Извлекаем кубический корень:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$: $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Условие выполняется.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение для $b_1$:

$b_1 = 24(1-q) = 24(1 - \frac{1}{2}) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$

Таким образом, мы определили параметры искомой геометрической прогрессии: её первый член $b_1=12$ и знаменатель $q=\frac{1}{2}$.

Запишем первые несколько членов этой прогрессии:

$12, \quad 12 \cdot \frac{1}{2}, \quad 12 \cdot (\frac{1}{2})^2, \quad \dots$

$12, \quad 6, \quad 3, \quad \dots$

Проверка:
Сумма прогрессии: $S = \frac{12}{1 - 1/2} = \frac{12}{1/2} = 24$. (Верно)
Сумма первых трёх членов: $12 + 6 + 3 = 21$. (Верно)

Ответ: Искомая геометрическая прогрессия задаётся первым членом $b_1=12$ и знаменателем $q=\frac{1}{2}$. Последовательность её членов: 12, 6, 3, 1.5, ...