Номер 25.7, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.7, страница 85.

25.7 Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), если:

a) $S = 10, q = 0,1;$

б) $S = -3, q = -\frac{1}{3};$

в) $S = 6, q = -0,5;$

г) $S = -21, q = \frac{1}{7}.$

Для нахождения первого члена ($b_1$) бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула ее суммы $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $q$ - знаменатель прогрессии, при условии что $|q| < 1$.

Из этой формулы выразим искомый первый член $b_1$: $b_1 = S \cdot (1 - q)$.

а) Дано: $S = 10$, $q = 0,1$.

Знаменатель $q = 0,1$, его модуль $|0,1| < 1$, следовательно, мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрессией и можем применить формулу.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = 10 \cdot (1 - 0,1) = 10 \cdot 0,9 = 9$.

Ответ: $9$.

б) Дано: $S = -3$, $q = -\frac{1}{3}$.

Знаменатель $q = -\frac{1}{3}$, его модуль $|-\frac{1}{3}| < 1$, поэтому формула применима.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = -3 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})) = -3 \cdot (1 + \frac{1}{3}) = -3 \cdot (\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) = -3 \cdot \frac{4}{3} = -4$.

Ответ: $-4$.

в) Дано: $S = 6$, $q = -0,5$.

Знаменатель $q = -0,5$, его модуль $|-0,5| < 1$, поэтому формула применима.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = 6 \cdot (1 - (-0,5)) = 6 \cdot (1 + 0,5) = 6 \cdot 1,5 = 9$.

Ответ: $9$.

г) Дано: $S = -21$, $q = \frac{1}{7}$.

Знаменатель $q = \frac{1}{7}$, его модуль $|\frac{1}{7}| < 1$, поэтому формула применима.

Подставляем известные значения и вычисляем $b_1$:

$b_1 = -21 \cdot (1 - \frac{1}{7}) = -21 \cdot (\frac{7}{7} - \frac{1}{7}) = -21 \cdot \frac{6}{7} = -3 \cdot 6 = -18$.

Ответ: $-18$.