Номер 25.6, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.6, страница 85.

25.6 Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $S = 2, b_1 = 3;$

б) $S = -10, b_1 = -5;$

в) $S = -\frac{9}{4}, b_1 = -3;$

г) $S = 1,5, b_1 = 2.$

Для решения задачи используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ – сумма прогрессии, $b_1$ – её первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Условием сходимости ряда является $|q| < 1$.

Выразим из этой формулы знаменатель $q$:

$S \cdot (1 - q) = b_1$

$1 - q = \frac{b_1}{S}$

$q = 1 - \frac{b_1}{S}$

Применим полученную формулу для решения каждого пункта.

а) Дано: $S = 2$, $b_1 = 3$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Проверка условия: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Дано: $S = -10$, $b_1 = -5$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{-5}{-10} = 1 - \frac{5}{10} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Проверка условия: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Дано: $S = -\frac{9}{4}$, $b_1 = -3$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{-3}{-\frac{9}{4}} = 1 - (-3 \cdot (-\frac{4}{9})) = 1 - \frac{12}{9} = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.

Проверка условия: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

г) Дано: $S = 1,5$, $b_1 = 2$.

Находим знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{b_1}{S} = 1 - \frac{2}{1,5} = 1 - \frac{2}{3/2} = 1 - (2 \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.

Проверка условия: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.