Номер 25.9, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.9, страница 86.

25.9 Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

a) $b_n = \frac{25}{3^n}$;

б) $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}$;

В) $b_n = \frac{45}{6^n}$;

Г) $b_n = (-1)^n \frac{7}{6^{n-2}}$.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Условием сходимости ряда (существования суммы) является $|q| < 1$.

а) $b_n = \frac{25}{3^n}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = \frac{25}{3^1} = \frac{25}{3}$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$, вычислив отношение $b_{n+1}$ к $b_n$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{25}{3^{n+1}}}{\frac{25}{3^n}} = \frac{25}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{25} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$.

3. Так как $|q|=|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно вычислить.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{25}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{25}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$.

Ответ: $12.5$.

б) $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = (-1)^1 \frac{13}{2^{1-1}} = -1 \cdot \frac{13}{2^0} = -1 \cdot \frac{13}{1} = -13$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(-1)^{n+1} \frac{13}{2^{(n+1)-1}}}{(-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}} = \frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} \cdot \frac{13}{2^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{13} = -1 \cdot \frac{2^{n-1}}{2^n} = -\frac{1}{2}$.

3. Так как $|q|=|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-13}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-13}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-13}{\frac{3}{2}} = -13 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{26}{3}$.

Ответ: $-\frac{26}{3}$.

в) $b_n = \frac{45}{6^n}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = \frac{45}{6^1} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2}$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{45}{6^{n+1}}}{\frac{45}{6^n}} = \frac{45}{6^{n+1}} \cdot \frac{6^n}{45} = \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}$.

3. Так как $|q|=|\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{15}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{15}{2}}{\frac{5}{6}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3 \cdot 3}{1} = 9$.

Ответ: $9$.

г) $b_n = (-1)^n \frac{7}{6^{n-2}}$

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = (-1)^1 \frac{7}{6^{1-2}} = -1 \cdot \frac{7}{6^{-1}} = -1 \cdot 7 \cdot 6 = -42$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого найдем второй член $b_2$:
$b_2 = (-1)^2 \frac{7}{6^{2-2}} = 1 \cdot \frac{7}{6^0} = 1 \cdot 7 = 7$.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{-42} = -\frac{1}{6}$.

3. Так как $|q|=|-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

4. Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-42}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{-42}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{-42}{\frac{7}{6}} = -42 \cdot \frac{6}{7} = -6 \cdot 6 = -36$.

Ответ: $-36$.