Номер 25.14, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.14, страница 86.

25.14 Решите уравнение, если известно, что $|x| < 1$.

a) $x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^n + \dots = 4;$

б) $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + \dots = \frac{3}{8}.$

а) Левая часть уравнения $x + x^2 + x^3 + x^4 + ... = 4$ представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = x$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{x^2}{x} = x$. По условию задачи $|x| < 1$, что является условием сходимости для бесконечной геометрической прогрессии. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставив наши значения, получим: $S = \frac{x}{1 - x}$ Теперь приравняем эту сумму к значению из уравнения: $\frac{x}{1 - x} = 4$ Решим полученное уравнение относительно $x$: $x = 4(1 - x)$ $x = 4 - 4x$ $x + 4x = 4$ $5x = 4$ $x = \frac{4}{5}$ Проверим, удовлетворяет ли корень условию $|x| < 1$: $|\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$, и так как $\frac{4}{5} < 1$, условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{4}{5}$

б) Левая часть уравнения $2x - 4x^2 + 8x^3 - 16x^4 + ... = \frac{3}{8}$ также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 2x$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{-4x^2}{2x} = -2x$. Для сходимости ряда необходимо выполнение условия $|q| < 1$, то есть $|-2x| < 1$. $2|x| < 1$ $|x| < \frac{1}{2}$ Это условие является более строгим, чем данное в задаче ($|x| < 1$), и найденный корень должен ему удовлетворять. Сумма прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим наши значения: $S = \frac{2x}{1 - (-2x)} = \frac{2x}{1 + 2x}$ Приравняем сумму к значению из уравнения: $\frac{2x}{1 + 2x} = \frac{3}{8}$ Решим это уравнение, используя свойство пропорции: $8 \cdot (2x) = 3 \cdot (1 + 2x)$ $16x = 3 + 6x$ $16x - 6x = 3$ $10x = 3$ $x = \frac{3}{10}$ Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию сходимости $|x| < \frac{1}{2}$: $|\frac{3}{10}| = \frac{3}{10}$. Так как $\frac{3}{10} = 0.3$, а $\frac{1}{2} = 0.5$, то $0.3 < 0.5$. Условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{3}{10}$