Номер 26.2, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §26. Предел функции - номер 26.2, страница 88.

Условие.

26.2 Имеет ли функция $y = f(x)$ предел при $x \to +\infty$, при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$ и чему он равен, если:

а) прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4];

б) прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty);

в) прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3];

г) прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Условие, что прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$, означает, что поведение функции при $x \to -\infty$ определяется этой асимптотой. По определению горизонтальной асимптоты, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ существует и равен 3:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$

Информации о поведении функции при $x \to +\infty$ не предоставлено, поэтому сделать вывод о существовании предела при $x \to +\infty$ или при $x \to \infty$ (для которого требуется существование и равенство пределов на $+\infty$ и $-\infty$) невозможно.

Ответ: функция имеет предел при $x \to -\infty$, равный 3.

б) Условие, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$, означает, что поведение функции при $x \to +\infty$ определяется этой асимптотой. По определению горизонтальной асимптоты, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ существует и равен -2:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$

Информации о поведении функции при $x \to -\infty$ не предоставлено, поэтому сделать вывод о существовании предела при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$ невозможно.

Ответ: функция имеет предел при $x \to +\infty$, равный -2.

в) Условие, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$, означает, что поведение функции при $x \to -\infty$ определяется этой асимптотой. По определению, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ существует и равен -5:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5$

Информации о поведении функции при $x \to +\infty$ недостаточно для определения предела при $x \to +\infty$ или при $x \to \infty$.

Ответ: функция имеет предел при $x \to -\infty$, равный -5.

г) Условие, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$, означает, что поведение функции при $x \to +\infty$ определяется этой асимптотой. По определению, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ существует и равен 5:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$

Информации о поведении функции при $x \to -\infty$ недостаточно для определения предела при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$.

Ответ: функция имеет предел при $x \to +\infty$, равный 5.