Номер 26.7, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.7, страница 89.

26.7 а) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$ и $f(x) > 0$ на $(-\infty; +\infty);$

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ и $f(x) \ge 0$ на $[-7; 3];$

в) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ и $f(x) > 0$ на $[0; +\infty);$

г) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ и $f(x) < 0$ на $(-\infty; +\infty).$

а) Да, такая функция существует. В качестве примера можно рассмотреть функцию $f(x) = \frac{5x^2+1}{x^2+1}$. Проверим для неё выполнение заданных условий.
Во-первых, найдём предел функции при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2+1}{x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(5 + 1/x^2)}{x^2(1 + 1/x^2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5 + 1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{5+0}{1+0} = 5$.
Первое условие выполнено.
Во-вторых, проверим знак функции. Для любого действительного $x$ выражение $x^2 \ge 0$. Следовательно, числитель $5x^2+1$ всегда строго положителен, так как $5x^2 \ge 0 \implies 5x^2+1 \ge 1$. Аналогично, знаменатель $x^2+1$ всегда строго положителен ($x^2+1 \ge 1$). Частное двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $f(x) > 0$ на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$. Второе условие также выполнено.
Ответ: да, существует.

б) Да, такая функция существует. Поскольку условия наложены на поведение функции на разных частях числовой оси (одно при $x \to -\infty$, другое на отрезке $[-7; 3]$), удобно использовать кусочно-заданную функцию. Рассмотрим, например, функцию:
$f(x) = \begin{cases} -3, & \text{если } x < -7 \\ 1, & \text{если } x \ge -7 \end{cases}$
Проверим для неё выполнение условий.
Во-первых, предел при $x \to -\infty$ определяется первой частью задания функции: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-3) = -3$. Первое условие выполнено.
Во-вторых, для любого $x$ из отрезка $[-7; 3]$ выполняется условие $x \ge -7$. Согласно определению функции, для таких $x$ значение $f(x) = 1$. Так как $1 \ge 0$, второе условие $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-7; 3]$ также выполнено.
Ответ: да, существует.

в) Да, такая функция существует. В качестве примера можно привести функцию $f(x) = e^{-x}$. Проверим, выполняются ли для неё заданные условия.
Во-первых, найдём предел функции при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Первое условие выполнено.
Во-вторых, показательная функция $e^t$ принимает только положительные значения при любом действительном $t$. Следовательно, $f(x) = e^{-x} > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, и в частности для всех $x \in [0; +\infty)$. Второе условие также выполнено.
Ответ: да, существует.

г) Да, такая функция существует. В качестве примера можно рассмотреть функцию $f(x) = -e^x$. Проверим выполнение условий для этой функции.
Во-первых, найдём предел функции при $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-e^x) = -(\lim_{x \to -\infty} e^x) = -0 = 0$.
Первое условие выполнено.
Во-вторых, показательная функция $e^x$ является строго положительной для любого действительного $x$, то есть $e^x > 0$. Следовательно, функция $f(x)=-e^x$ будет строго отрицательной для любого $x \in (-\infty; +\infty)$. Второе условие $f(x) < 0$ также выполнено.
Ответ: да, существует.