Номер 26.13, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.13, страница 90.

Вычислите:

26.13 a) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3} \right);$

В) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3} \right);$

б) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) \cdot \left( -\frac{8}{x^2} - 2 \right);$

г) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7}{x^6} - 2 \right) \cdot \left( -\frac{6}{x^{10}} - 3 \right).$

а) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right)$ воспользуемся свойством предела суммы. Предел суммы функций равен сумме их пределов, если каждый из них существует.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3}$
Мы используем основное свойство пределов на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ для любой константы $c$ и любого $n > 0$.
Применяя это правило к каждому слагаемому, получаем:
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ (здесь $c=1, n=2$)
$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3} = 0$ (здесь $c=3, n=3$)
Следовательно, искомый предел равен сумме этих значений:
$0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

б) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)$ воспользуемся свойством предела произведения. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если каждый из них существует.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right) = \left(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right)\right) \cdot \left(\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)\right)$
Вычислим предел каждого сомножителя отдельно.
Для первого сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^3} + \lim_{x \to \infty} 1 = 0 + 1 = 1$
Для второго сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right) = \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{8}{x^2}\right) - \lim_{x \to \infty} 2 = 0 - 2 = -2$
Теперь перемножим полученные результаты:
$1 \cdot (-2) = -2$
Ответ: $-2$

в) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right)$ используем свойство предела суммы.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3}$
Используя правило $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n > 0$, находим пределы каждого слагаемого:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$
$\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3} = 0$
Складываем полученные значения:
$0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

г) Для вычисления предела $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)$ используем свойство предела произведения.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \left(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right)\right) \cdot \left(\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)\right)$
Рассчитаем предел для каждого из сомножителей.
Для первого сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^6} - \lim_{x \to \infty} 2 = 0 - 2 = -2$
Для второго сомножителя:
$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{6}{x^{10}}\right) - \lim_{x \to \infty} 3 = 0 - 3 = -3$
Перемножаем результаты:
$(-2) \cdot (-3) = 6$
Ответ: $6$