Номер 26.16, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.16, страница 90.

26.16 Какая из функций, графики 23–30, имеет предел при $x \to 3$? Чему равен этот предел?

Рис. 23

Предел существует и равен $3$.

Рис. 24

Предел существует и равен $4$.

Рис. 25

Предел существует и равен $4$.

Рис. 26

Предел не существует.

Рис. 27

Предел существует и равен $\infty$.

Рис. 28

Предел не существует.

Рис. 29

Предел не существует.

Рис. 30

Предел существует и равен $0$.

Для того чтобы у функции существовал предел при $x \to 3$, необходимо, чтобы существовали и были равны друг другу односторонние пределы: предел слева (когда $x$ стремится к $3$, оставаясь меньше $3$) и предел справа (когда $x$ стремится к $3$, оставаясь больше $3$).

$\lim_{x \to 3} f(x) = L$ тогда и только тогда, когда $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = L$.

Рассмотрим каждый график:

Рис. 23: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к значению $y=3$. Когда $x$ стремится к $3$ справа, график также приближается к $y=3$. Точка $(3, 3)$ выколота, то есть функция в ней не определена, но это не влияет на существование предела. Так как левый и правый пределы равны, предел существует.
Ответ: предел существует и равен $3$.

Рис. 24: Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, график приближается к значению $y=4$. Левый предел $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$, и правый предел $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Наличие отдельной точки $f(3)=3$ не влияет на значение предела. Так как односторонние пределы равны, предел существует.
Ответ: предел существует и равен $4$.

Рис. 25: Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, график приближается к значению $y=4$. Функция непрерывна в этой точке. Левый и правый пределы равны $4$.
Ответ: предел существует и равен $4$.

Рис. 26: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к $y=3$ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$). Когда $x$ стремится к $3$ справа, график приближается к $y=4$ ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$). Так как левый и правый пределы не равны ($3 \neq 4$), предел в этой точке не существует. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: предел не существует.

Рис. 27: Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, значения функции неограниченно возрастают, то есть стремятся к $+\infty$. Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой. Поскольку предел не является конечным числом, он не существует.
Ответ: предел не существует.

Рис. 28: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к $y=3$ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$). Когда $x$ стремится к $3$ справа, значения функции неограниченно возрастают ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$). Так как односторонние пределы не равны (и один из них не является конечным числом), предел не существует.
Ответ: предел не существует.

Рис. 29: Когда $x$ стремится к $3$ слева, график приближается к $y=3$ ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$). Когда $x$ стремится к $3$ справа, график приближается к $y=5$ ($\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$). Так как левый и правый пределы не равны ($3 \neq 5$), предел в этой точке не существует. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: предел не существует.

Рис. 30: Функция (парабола) непрерывна в точке $x=3$. Когда $x$ стремится к $3$ с обеих сторон, график приближается к вершине параболы, где $y=1$. Левый и правый пределы равны $1$.
Ответ: предел существует и равен $1$.