Номер 26.21, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.21, страница 92.

26.21 a) $ \lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}; $

б) $ \lim_{x \to 1} \frac{3+4x}{2x^2+6x-3}; $

В) $ \lim_{x \to 6} \sqrt{x+3}; $

Г) $ \lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}. $

а)

Для нахождения предела $\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}$, мы можем использовать свойство непрерывности функции. Функция $f(x) = \sqrt{x+4}$ является элементарной и определена в точке $x=5$, а также в её окрестности, так как подкоренное выражение $x+4$ при $x \to 5$ положительно. Следовательно, функция непрерывна в этой точке.

По определению непрерывности, предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Поэтому мы можем просто подставить значение $x=5$ в выражение:

$\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

б)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to 1} \frac{3+4x}{2x^2+6x-3}$.

Функция $f(x) = \frac{3+4x}{2x^2+6x-3}$ является рациональной. Предел рациональной функции в точке, где знаменатель не обращается в ноль, можно найти прямой подстановкой.

Проверим значение знаменателя в точке $x=1$:

$2(1)^2 + 6(1) - 3 = 2 \cdot 1 + 6 - 3 = 2 + 6 - 3 = 5$.

Поскольку знаменатель не равен нулю ($5 \neq 0$), мы можем найти предел, подставив $x=1$ в числитель и знаменатель:

$\lim_{x \to 1} \frac{3+4x}{2x^2+6x-3} = \frac{3+4(1)}{2(1)^2+6(1)-3} = \frac{3+4}{2+6-3} = \frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

в)

Для нахождения предела $\lim_{x \to 6} \sqrt{x+3}$ воспользуемся тем, что функция $f(x) = \sqrt{x+3}$ непрерывна в точке $x=6$, так как подкоренное выражение $x+3$ в этой точке положительно ($6+3=9 > 0$).

Предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке. Подставим $x=6$ в выражение:

$\lim_{x \to 6} \sqrt{x+3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

г)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$.

Данная функция является рациональной. Сначала проверим, не обращается ли знаменатель в ноль в точке $x=-1$.

Подставим $x=-1$ в знаменатель:

$3(-1)^2 - 2(-1) + 4 = 3 \cdot 1 - (-2) + 4 = 3 + 2 + 4 = 9$.

Так как знаменатель не равен нулю ($9 \neq 0$), функция непрерывна в точке $x=-1$. Следовательно, для нахождения предела можно применить прямую подстановку.

Подставим $x=-1$ в числитель и знаменатель дроби:

$\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4} = \frac{5-2(-1)}{3(-1)^2-2(-1)+4} = \frac{5+2}{3+2+4} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.