Номер 26.25, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §26. Предел функции - номер 26.25, страница 93.

Условие.

26.25 a) $ \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}; $

б) $ \lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 - x^2}; $

в) $ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}; $

г) $ \lim_{x \to 4} \frac{16 - x^2}{64 - x^3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Найдем предел $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$.

При подстановке $x = -2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $-2 + 2 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Теперь можем упростить выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4}$.

Подставим предельное значение $x = -2$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) Найдем предел $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 - x^2}$.

При подстановке $x = -1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$.
Знаменатель: $1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель (сумма кубов): $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.
Знаменатель (разность квадратов): $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.

Упростим выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 - x + x^2)}{(1 - x)(1 + x)} = \lim_{x \to -1} \frac{1 - x + x^2}{1 - x}$.

Подставим предельное значение $x = -1$:
$\frac{1 - (-1) + (-1)^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Найдем предел $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}$.

При подстановке $x = 3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $3 - 3 = 0$.
Знаменатель: $3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$.

Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Упростим выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9}$.

Подставим предельное значение $x = 3$:
$\frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

г) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{16 - x^2}{64 - x^3}$.

При подстановке $x = 4$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $16 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.
Знаменатель: $64 - 4^3 = 64 - 64 = 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель (разность квадратов): $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.
Знаменатель (разность кубов): $64 - x^3 = 4^3 - x^3 = (4 - x)(16 + 4x + x^2)$.

Упростим выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to 4} \frac{(4 - x)(4 + x)}{(4 - x)(16 + 4x + x^2)} = \lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2}$.

Подставим предельное значение $x = 4$:
$\frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.