Номер 26.27, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.27, страница 93.

26.27 Вычислите:

a) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $

б) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x} $

a) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $.

При подстановке $x = 0$ в выражение под знаком предела, мы получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $, так как $ \cos 0 = 1 $. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся тригонометрической формулой для косинуса двойного угла, а именно следствием из нее: $ 1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} $.

Применим эту формулу к числителю:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} $

Теперь преобразуем выражение так, чтобы использовать первый замечательный предел $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $. Для этого в знаменателе нам нужен аргумент, идентичный аргументу синуса, то есть $ \frac{x}{2} $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}} \right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{1}{4} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 $

Вынесем константу за знак предела:

$ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 $

Так как при $ x \to 0 $, то и $ \frac{x}{2} \to 0 $. Следовательно, предел выражения в скобках равен 1 (согласно первому замечательному пределу).

$ \frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x} $.

При подстановке $x = 0$ в выражение, получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Для ее раскрытия используем формулу преобразования разности синусов в произведение: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.

Преобразуем числитель:

$ \sin 7x - \sin 3x = 2 \sin\frac{7x - 3x}{2} \cos\frac{7x + 3x}{2} = 2 \sin(2x) \cos(5x) $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin 8x - \sin 2x = 2 \sin\frac{8x - 2x}{2} \cos\frac{8x + 2x}{2} = 2 \sin(3x) \cos(5x) $

Подставим преобразованные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(2x) \cos(5x)}{2 \sin(3x) \cos(5x)} $

Поскольку при $ x \to 0 $, $ \cos(5x) \to \cos(0) = 1 \ne 0 $, мы можем сократить общие множители $ 2 \cos(5x) $ в числителе и знаменателе:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} $

Мы снова получили неопределенность $ \frac{0}{0} $. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $. Для этого разделим числитель и знаменатель на $ x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \ne 0 $):

$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}} $

Теперь преобразуем выражения, чтобы они соответствовали форме замечательного предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}} $

Используя свойство предела частного и тот факт, что $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1 $, получаем:

$ \frac{\lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}\right)}{\lim_{x \to 0} \left(3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}\right)} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.